Кинематика точки. Декартовы координаты

Исключая время:

или:

Введём понятия скорости и ускорения:

Рис.32.

т. М t

т. М’ t + t

(t - конечное).

Радиусы – векторы: t

t + t +

=

За время t (рис. 32):

(Направление по секущей MM’).

Скорость точки в момент времени t получается при t 0, то есть

(Направление по касательной и траектории точки)

Очевидно:

Проекции :

.

Модуль (длина):

Скорость точки М в момент времени t равна производной по времени от радиуса – вектора точки и направлена по касательной к траектории.

Аналогично найдём ускорение (рис. 33).

Рис.33.

Совмещая начало векторов (t) и (t + t) в точке М => за t.

Среднее ускорение:

(направление в сторону вогнутости траектории)

Ускорение точки в момент времени t получается при t 0, то есть

Очевидно:

Ускорение точки в некоторый момент времени равно производной по времени от вектора скорости, или второй производной по времени от радиуса – вектора точки в этот момент времени.

В некоторых задачах – используется производная более высоких порядков, но здесь они пока не нужны.

В механике применяются не только декартовы координаты – часто применяют обобщённые (криволинейные) координаты.

Они бывают удобней, позволяют определить конфигурацию рассматриваемой системы. Часто их называют позиционными. Криволинейными они называются потому, что линии вдоль которых меняется только одна координата, обычно бывают кривыми.

Рассмотрим частный случай криволинейных координат – полярные координаты точки на плоскости: применим далее к задаче движение точек в центральном силовом поле (рис. 34).

Рис.34.

(x, y) – декартовы координаты.

(r, ) – полярные координаты.

Угол => от Ох против часовой стрелки – положительное направление

Формулы преобразования:

x = r cos, y = r sin, где r 0; 0 < 2

(можно рассматривать и ).

Если r = const – концентрические окружности с центром в точке О.

Если = const – прямолинейные лучи из точки О.

Введём два орта:

Найдём производные по углу (рис. 35):

Рис.35.

(так как r = 1)

при ,

т. е. .

Далее:

при ,

т. е. .

При каждом дифференцировании по φ т. е. происходит поворот на угол .

Выведем формулы проекции скорости и ускорения точки М на направления касательных к координатным линиям в полярных координатах.

Так как , то

Но:

Очевидно:

Для ускорения:

.

Но: .

Очевидно:

Контрольные вопросы:

1. Что изучает кинематика?

2. Дайте определение скорости точки.

3. Напишите формулы проекций ускорения на оси полярной системы координат.

Рассмотрим систему координатных осей, определяемую траекторией точки (рис.36).     Рис.36.   . Единичный вектор касательной к траектории (S – длина дуги М0М):   , где .   Дифференцируя по S: , где - единичный вектор главной нормали; и направлен в сторону вогнутости; кривизна. (k = 0 - прямая); - радиус кривизны. Единичный вектор бинормали : . образуют правую тройку ортогональных единичных векторов. Они определяют направление естественных (натуральных) осей в том месте траектории, где находится движущаяся точка. соприкасающаяся Очевидно, проекция на ось : (может иметь разные знаки – зависит от направления S). Для ускорения: ;   Но: ;   Очевидно, проекции ускорения на естественные оси: на касательную: ; на главную нормаль: на бинормаль: 0 Таким образом, ускорение лежит в соприкасающейся плоскости (рис. 37). Рис.37.   Задача.       Контрольные вопросы: 1. Какие основные отличия естественной системы координат от декартовой? 2. Назовите проекции скорости точки в естественных координатах. 3. Какова последовательность определения радиуса кривизны траектории точки?

Найдём число координат, определяющих положение абсолютно твёрдого тела.

Определить положение тела => определить координаты точки относительно некоторой системы отсчёта в момент времени.

Рис.38.

Пусть Х₁ , Х₂, Х₃ – неподвижные оси (рис. 38); орты: [декартова система].

, , - оси, жёстко связанные с телом; орты: , , - [декартова система].

Так как координаты точек относительно собственных осей ,, не зависят от времени, то задача сводится к определению положения координатных осей, жёстко связанных с телом (подвижных), относительно неподвижных осей Х₁ , Х₂, Х₃.

Составим таблицу косинусов углов между осями Х и :

- скалярное произведение.

Так как системы координат ортогональны, то

скалярное произведение: , где

Итак:

Число таких соотношений = 6 (Из 9 – ти в силу симметрии по jи k).

Имеем 6 соотношений для 9 косинусов =>

3 косинуса , не расположенные в одном столбце, или в одной строке, могут быть приняты за независимые, а остальные можем определить из составленных 6 – ти соотношений.

Кроме того => три координаты определяют положение точки О ’ – начало системы, , .

Но 9 координат и 3 соотношение длин:

Это условия постоянства расстояний между точками в абсолютно твёрдом теле.

Выведем формулу Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела (рис. 39).

,

1) ,

- скорость точки О ^’,

- скорость точки Q во вращательном движении тела (так как длина постоянна).

Так как координаты точки Qпостоянны, то

Тогда:

2) ,

где .

Скорость точки Q: .

3) Выразим и производные через направляющие косинусы :

.

Тогда: (в неподвижной системе).

4) Проекция на ось (k= 1,2,3):

.

Скорости точек во вращательном движении – линейные функции координат точек.

5) Получим более простую и наглядную форму закона распределения скоростей, используя свойства функции .

,

Дифференцируем по t:

.

По свойству производной от произведения:

при j= k => ,

при j≠ k=> .

Свойства:

а) симметрия по kи j;

б) при j= k=>равенство «0»;

в) размерность t^-1, т. е. угловая скорость (угол в радианах), так как - скорость.

г) различных только три =>

Покажем, что

Действительно:

- по аналогии.

Итак:

или:

7) , где - единичные вектора, жёстко связанные с телом.

Положим - вектор, где

8) Тогда:

-Описывает распределение скоростей.

Назовём вектором мгновенной угловой скорости, а прямая на которой он располагается, в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О ^’ – осью мгновенного вращения, или мгновенной осью.

Таким образом, закон распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела в любом движении:

.

Это формула Эйлера в векторной записи.

Контрольные вопросы:

1. Сколько координат определяют положение твёрдого тела в пространстве?

2. Что называется вектором мгновенной угловой скорости?

3. Напишите формулу Эйлера.

Найдём закон распределения.

Дифференцируем по времени формулу Эйлера:

,

Так как , то

=>

двойное векторное произведение

- формула Ривальса для распределения

ускорений точек абсолютно твёрдого тела (рис. 40).

1) - ускорение начала подвижной системы.

Так как

2) - вращательное ускорение.

3) - осестремительное ускорение.

Рис.40.

Контрольные вопросы:

1. Какая формула является исходной при расчёте распределения ускорений точек твёрдого тела?

2. Как перейти от двойного векторного произведения к скалярным произведениям?

3. Напишите формулу Ривалью.

Частными видами движения абсолютно твёрдого тела являются поступательное, вращательное и плоскопараллельное.

Поступательным движением абсолютно твёрдого тела будем называть такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющей две любые точки тела, остаётся параллельным неподвижной прямой.

Рис.41.

В поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеет одну и ту же скорость и одно и то же ускорение.

Пусть:

Тогда:

Положим:

.

Так как перемещается параллельно первоначальному направлению, то:

Тогда:

(Аналогично из формулы Эйлера при )