Свойства евклидовых пространств

Определения.

1. Назовём длиной вектора х Î Е выражение | x | = . Так как (x, x) ³ 0 " х Î Е, то длина определена " х Î Е.

2. Будем говорить, что х, у Î Е ортогональны, х ^ у, если

(х, у) = 0.

Теорема Пифагора. Если х ^ у, то | x + у | ² = | x | ² + | у | ².

Доказательство. | x+у | ² = (х+у, х+у)= (х, х)+ (у, у)+2(х,у) = = | x | ² + | у | ².

Следствие. Если х ^ у, то | x + у | ² ³ | x | ², | x + у | ³ | x |, причем | x + у | ² = | x | ² Û у = 0.

Теорема 2. Пусть х, у Î Е, х ¹ 0. Тогда $ aÎ R такое, что у = aх + z, где z ^ x.

Доказательство. z = у - aх, z ^ x Û (у - aх, x) = 0 Û

(у, х) - a(х, x) = 0 Û a = (у, х) / (х, x).

ÿ

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). | (x, y)|£ | x||у |.

Доказательство. При х= 0 неравенство обращается в равенство. Если же х ¹ 0, то по теореме 2 у = aх + z, и по следствию из теоремы Пифагора | у | ³ |aх | = |a || х | =

=×|х | = Þ | x||у | ³ | (x, y)|, причем равенство имеет место лишь при z = 0, у = aх.

ÿ

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Примеры. 1. Хорошо известными примерами евклидовых пространств являются множества векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве	\|	Следствия. 1. Так как -1£ (х, у) /\|x\|\|y\|£ 1, то мы можем определить угол g между векторами х и у по формуле: g = arccos

Поделиться с друзьями:

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 240; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

studopediasu.com - Студопедия (2013 - 2026) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление

Генерация страницы за: 0.009 сек.