Корені рівняння лежать по різні боки відрізка , тобто , тоді і тільки тоді, коли

Тоді і тільки тоді, коли

Обидва кореня між точками і, тобто

Обидва корені більші від числа, тобто і, тоді і тільки тоді, коли

Тоді і тільки тоді, коли

Корені лежать по різні боки від числа, тобто

Тоді і тільки тоді, коли

Обидва корені менші від числа, тобто

і ,

або

,

або

або

і ,

або

або

Приклад. При яких значеннях а число 2 міститься між коренями рівняння ?

Ø Нехай і — корені квадратного рівняння причому Формалізуючи умови задачі, дістаємо:

Якщо розв’язувати цю систему рівнянь, то будемо мати значні труднощі.

Тому користуємося п. 2 теореми:

Відповідь.

Приклад. Знайти кількість цілих значень при яких квадрат­не рівняння не має дійсних коренів?

Ø Рівняння не має дійсних коренів, якщо тобто або

З цього проміжку знаходимо цілі 1, 2, 3, …, 15.

Відповідь. 15 цілих значень.

Приклад. При якому значенні параметра b рівняння має єдиний розв’язок?

Ø Спочатку перетворюємо рівняння до виду

.

Це рівняння має єдиний розв’язок, якщо його дискримінант дорівнює нулю, тобто

,

звідки

Відповідь.

Приклад. Обчислити суму цілих значень параметра а, при яких рівняння має два різні дійсні корені.

Ø Рівняння має два різні дійсні корені, якщо

тобто

,

Далі знаходимо суму цілих значень параметра а:

Відповідь.

Приклад. Визначити найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння має два різні розв’язки.

Ø Введемо заміну (очевидно, що ) і подамо рівняння у вигляді:

Це рівняння має два розв’язки, якщо тобто . Звідси

Корені рівняння . Тому і

Із системи маємо: .

Відповідь.

Приклад. Знайти кількість цілих значень параметра , при яких сума розв’язків рівняння належить проміжку ?

Ø За теоремою Вієта

Тоді

,

або

,

або

Параметр набуває таких цілих значень: 9, 10, 11, 12, 13.

Відповідь. 5 цілих значень.

Приклад. Розв’язати рівняння

Ø ОДЗ:

Тоді після зведення до спільного знаменника рівняння набирає вигляду

,

або на області допустимих значень невідомого та параметра:

.

Знайдемо дискримінант цього рівняння

і його корені:

Враховуючи ОДЗ, дістаємо при

,

що рівняння має два корені

Якщо

Приклад. Розв’язати рівняння

,

де — параметр,

Ø Виконавши заміну , перетворимо це рівняння у вигляді де бо

Вершина графіка квадратного тричлена

має абсцису тому з умов випливає, що Отже, при проміжку може належати тільки більший корінь вказаного тричлена. Цей факт аналітично описується системою нерівностей

Розв’язуючи цю систему за умови , знаходимо, що вона сумісна при

Більший корінь тричлена тому, розв’я­зуючи рівняння , знаходимо розв’язок . При інших а розв’язків немає.

Приклад. Розв’язати рівняння де а — параметр.

Ø Виконаємо заміну , де Тоді , а отже, Звідси Отже, приходимо до системи

Розв’язування системи зводиться до знаходження тих значень параметра а, при яких логічно можливе таке розв’язування квадратного тричлена

Ці можливі випадки розташування на дійсній осі коренів квад­ратного тричлена описуються аналітично умовами:

1) 2) 3) .

Тоді 1) 2) 3)

Враховуючи, що корені тричлена задаються формулою

,

доходимо висновку, що система має такі розв’язки:

при

при ,

при

тому корені початкового рівняння задаються рівностями:

якщо

, то ;

, то ;

;

, рівняння розв’язків не має.

1. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння

має два різні від’ємні корені. ().

2. Знайти всі значення при яких сума коренів рівняння дорівнює сумі квадратів його коренів. ()

3. Знайти кількість цілих значень параметра при яких добуток коренів рівняння належить проміжку (1, 2).

4. У рівнянні визначити , при якому відношення коренів цього рівняння дорівнює ().

5. При яких значеннях корені рівняння належать інтервалу (0; 1)?

6. При яких значеннях корені квадратного рівняння мають різні знаки? (

7. Знайти найбільше значення параметра при якому рівняння не має двох різних дійсних розв’язків. ().

8. При якому найменшому цілому значенні параметра корені рівняння знаходяться по різні боки проміжку ? ().

9. Розв’язати рівняння

().

10. Розв’язати рівняння

(Якщо то якщо , то ).

11. При яких значеннях параметра корені рівняння належать відрізку ?

12. При яких значеннях параметра корені рівняння невід’ємні? ().

13. При яких значеннях параметр рівняння має хоча б один додатний корінь? ().

14. При яких значеннях параметра корені і многочлена задовольняють нерівності . ().

15. При яких значеннях параметра а обидва корені і рівняння належать інтервалу ? ().

16. При яких значеннях параметра а рівняння не має розв’язків? ().

17. Залежно від а розв’язати рівняння:

а) (якщо , то при інших );

б) (якщо , то , при інших );

c) . (В. ).

18. При яких значеннях параметра а корені рівняння належать інтервалу ? ().

19. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння менший від 1, а другий більший від 2? ().

20. При яких цілих значеннях параметра а система рівнянь

має розв’язки? Знайти ці розв’язки. (Якщо то при інших розв’язків немає).

12.3. Графічне розв’язування рівнянь
із параметрами

Алгоритм графічного методу.

1. Знайти область допустимих значень невідомого та парамет­рів, що входять до рівняння.

2. Виразити параметр як функцію від невідомого: .

3. У системі координат побудувати графік функції для тих значень х, які входять в область визначення рівняння.

4. Знайти точки перетину прямої з графіком .

Можливі випадки:

1) пряма не перетинає графік функції . При цьому значення рівняння розв’язків не має.

2) пряма перетинає графік функції . Визначити абсциси точок перетину (для цього достатньо розв’язати рівняння відносно ).

5. Записати відповідь.

Приклад. Дослідити рівняння

Ø Якщо рівняння набирає вигляду

2) якщо маємо

У системі координат будуємо графіки функцій для та для (рис. 1).

Далі знаходимо точки перетину прямої з графіком функції Пряма має з графіком функції лише одну спільну точку, абсциса якої дорівнює

Рис. 1

Якщо рівняння розв’язків не має, оскільки пряма не перетинає графік Якщо , пряма перетинає графік функції у двох точках, абсциси яких можна знайти з рівняння

Якщо , то перетином прямої з графіком функції є дві точки з абсцисами де — менший корінь рівняння ; — більший корінь рівняння , тобто

Відповідь. Якщо рівняння розв’язку не має;

; )

Приклад. При якому значенні рівняння має три розв’язки?

Ø Запишемо рівняння у вигляді

ОДЗ: ,

Побудуємо схематично графіки функцій та (рис. 2).

Рис. 2

Якщо , то пряма перетинає криву у трьох точках з абсцисами .

Відповідь. –10.

1. При якому значенні параметра рівняння має три розв’язки? (–26).

2. При якому найбільшому цілому значенні параметра рівняння має два розв’язки? (–16).

3. Розв’язати графічно рівняння .

(Якщо

рівняння не має розв’язків).

4. Розв’язати графічно рівняння .

(Якщо , рівняння розв’язків немає.

Якщо ).

12.4. Дослідження та розв’язування систем
лінійних рівнянь із двома невідомими й параметрами

Дослідити систему рівнянь — означає встановити:

· чи є система визначеною, тобто має єдиний розв’язок, і за яких умов;

· чи є система несумісною, тобто не має розв’язків, і за яких умов;

· чи має вона безліч розв’язків і за яких умов.

Приклад. Дослідити систему рівнянь

де — невідомі; — параметри.

Ø Якщо то система має єдиний розв’язок.

При цьому графіки рівнянь, що входять у систему, мають одну спільну точку, координати якої є розв’язком системи.

2. Якщо то система не має розв’язків.

Графіки рівнянь при цьому є паралельними прямими.

3. Якщо то система рівнянь має безліч розв’язків.

Графіки рівнянь збігаються.

Приклад 2. При якому значенні параметра а система має безліч розв’язків?

Ø Система має безліч розв’язків, якщо

Розв’язавши рівняння , дістанемо

З умови маємо

Відповідь.

Приклад 3. При яких значеннях а система не має розв’язків?

Ø Система не має розв’язків, якщо

Розв’яжемо рівняння

. Звідси

Перевіримо умову

Підставивши в останній вираз замість а значення дістанемо

Якщо то система немає розв’язків.

Відповідь. .

Приклад. При яких значеннях система рівнянь має розв’язки ?

Ø Система має розв’язки, якщо

тобто колиЗвідси маємо:

Розв’язуючи систему рівнянь, дістаємо

За умовою задачі тобто

Оскільки , то остання система рівносильна системі:

звідси

Відповідь.

1. При якому значенні параметра а система має безліч розв’язків?

2. При якому найбільшому значенні параметра а система

не має розв’язків? (3).

3. При яких значеннях система рівнянь

має від’ємні розв’язки? ().

4. При яких значеннях система рівнянь

має розв’язки ?

5. Дослідити та розв’язати систему рівнянь

(Якщо — безліч розв’язків; якщорозв’язків немає. Якщо ).

ЛЕКЦІЯ

ПОХІДНА
ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

13.1. Відомості з історії

1. Про походження термінів і позначень. Розділ математики, в якому вивчаються похідні та їх застосування до дослідження функцій, називається диференціальним численням. Приріст виду , що являє собою різницю, відіграє помітну роль під час роботи з похідними. Тому цілком природною видається поява латинського кореня differentia (різниця) у назві calculis differentialis зазначеного числення, що з’явилося наприкінці XVII століття.

Термін «похідна» є буквальним перекладом на українську французького терміна derivée, що його ввів 1797 року Ж. Лаг­ранж (1736—1813); він же впровадив сучасні позначення . Така назва відбиває зміст поняття: функція походить від , є похідною від. Ньютон називав похідну функцію флюксією, а саму функцію — флюентою. І. Г. Лейбніц говорив про диференціальне відношення і ввів позначення похідної , яке також часто зустрічається в сучасній літературі.

Символ Лейбніц вибрав для позначення диференціала фун­кції . (Диференціал функції — це добуток похідної на приріст , тобто ; замінюючи позначення на , це можна записати так: , звідки ). Теоретичний зміст диференціалу стає зрозумілим із розгляду рис. 1: — дотична до графіку.

Розповідь про походження термінології, прийнятої в диференціальному численні, була б неповною без поняття границі і нескінченно малої. Більш ретельно про це поговоримо далі, а поки зауважимо, що похідні визначається як границя:

Похідною функції у точці х₀ називають границю, до якої прямує відношення приросту функції до приросту аргументу коли останній прямує до нуля:

.

Рис. 1

Позначення — скорочення латинського слова limes (межа, границя); зменшуючи, наприклад, , ми спрямовуємо значення до границі . Термін «границя» увів Ньютон.

Прикладом нескінченно малої може бути функція від , оскільки при . Узагалі, якщо , говорять, що — нескінченно мала. Нескінченно малі відіграють важливу роль у математичному аналізі, який з огляду на це часто називають також аналізом нескінченно малих.

Зауважимо нарешті, що слово «екстремум» походить від латинського extremum (крайній). Maximum перекладається як найбільший, а minimum — найменший.

2. З історії диференціального числення. Диференціальне чис­лення було створено Ньютоном і Лейбніцем порівняно недавно, наприкінці XVII сторіччя. Проте вражає той факт, що задовго до цього Архімед не тільки розв’язав задачу на побудову дотичної до такої складної кривої, як спіраль (застосувавши при цьому граничні переходи), а й зумів знайти максимум функції .

Епізодично поняття дотичної (яке також пов’язане з поняттям похідної) зустрічалося у працях італійського математика Н. Тартальї (бл. 1500—1557) — тут дотична з’явилася в ході вивчення питання про кут нахилу гармати, при якому забезпечується найбільша дальність польоту снаряда. Й. Кеплер розглядав дотичну, розв’язуючи задачу про найбільший об’єм паралелепіпеда, уписаного в кулю даного радіуса.

У XVII столітті на основі вчення Г. Галілея про рух активно розвинулася кінематична концепція похідної, передусім у працях Р. Декарта, французького математика Роберваля (1602—1675), англійського вченого Д. Грегорі (1638—1675), у працях Й. Барроу (1630—1677) і, нарешті, І. Ньютона.

До розгляду дотичної і нормалі (так називається пряма, перпен­дикулярна до дотичної в точці дотику) Декарт прийшов під час вивчення оптичних властивостей лінз. За допомогою методів аналітичної геометрії та винайденого ним методу невизначених коефіцієнтів Декарт зумів розв’язати задачі про побудову нормалей до ряду кривих, зокрема еліпса.

У 1629 році П. Ферма запропонував правила відшукання екстре­мумів многочленів, застосовуючи граничні переходи.

Ферма відіграв видатну роль у розвитку математики. Його ім’ям названо одну з найвідоміших теорем теорії чисел — велику теорему Ферма, яку не доведено й досі. Ферма — один із творців аналітичної геометрії. Він займався й оптикою, сформулювавши широко відомий фундаментальний принцип: промінь світла поширюється так, що час його проходження найменший.

Важливим наслідком цього принципу є, наприклад, закон відбиття світла: кут відбиття дорівнює куту падіння. Те саме стосується закону заломлення світла на межі поділу двох різних за густиною однорідних середовищ.

Зауважимо, що методи Ферма, що стосуються відшукання максимумів і мінімумів, побудови дотичних, обчислення площ — важливі віхи в передісторії диференціального та інтегрального числення.

Систематичне вчення про похідні розвинули Лейбніц та І. Ньютон, що мало величезний вплив на подальший розвиток математики та природознавства.

Якщо Ньютон виходив передусім із задач механіки (ньютонів аналіз створювався одночасно з ньютоновою класичною механікою), то Лейбніц розглядав переважно геометричні задачі.

Говорячи про подальший розвиток ідей аналізу (а вони дуже швидко завоювали популярність і знайшли багатьох послідовників), слід насамперед назвати імена учнів Лейбніца — братів Якоба та Йога Бернуллі.

А. Лопіталь (1661—1704) — учень Й. Бернуллі, уже 1696 року видав перший друкований курс диференціального числення «Аналіз нескінченно малих для дослідження кривих ліній», що сприяв поширенню нових методів.

Чимало вагомих результатів здобув Лагранж, праці якого відіграли важливу роль в осмисленні основ аналізу.

Неоціненний внесок у розвиток математичного аналізу, як і багатьох інших розділів математики, зробили Л. Ейлер і К. Ф. Гаус (1777—1855).

У стислому огляді неможливо розповісти про суть відкриттів у галузі математичного аналізу, зроблених у XVIII столітті та в наступні роки. Але про один напрямок не можна не згадати. Ідеться про розкладання функцій у степеневі ряди, тобто про подання функцій у вигляді многочленів із нескінченною кількістю доданків. Прикладом нескінченної суми (числового ряду) в елементарній математиці є нескінченні періодичні дроби, що подаються у вигляді суми нескінченної кількості доданків. З числовими та функціональними рядами працював не тільки Ньютон, але і його попередники, і тому не зовсім справедливо, що чудове співвідношення

(— значення, здобуте в результаті n-кратного диференціювання функції у точці ) названо формулою Тейлора. (Б. Тейлор (1685—1731) — англійський математик, який опублікував її в 1715 році),

З’ясувалося, що нерідко, відкидаючи нескінченну кількість доданків, можна діставати формули, що дають прийняті наближення функцій многочленами.

Зауважимо, що ентузіазм, викликаний появою нового могутнього методу математики, який дає змогу розв’язувати широке коло практичних задач, сприяв бурхливому розвитку аналізу у XVIII столітті. Але вже до кінця цього століття проблеми, з якими стикнулися творці диференціального та інтегрального числення, постали дуже гостро.

Основні труднощі полягали в тому, що не було сформульовано точних означень таких ключових понять, як «границя», «неперервність», «дійсне число». Через це й відповідні міркування мі­стили логічні прогалини, а іноді були навіть помилковими. Характерний приклад — визначення неперервності. Ейлер, Лагранж і навіть Фур’є (а він працював уже на початку XIX століття) називали неперервною функцію, задану у своїй області визначення одним аналітичним виразом.

Тим самим «нова» математика не відповідала стандартам строгості, звичним для вчених, вихованих на класичних зразках грецьких математиків. Інтуїція, конче потрібна математикам, істотно випередила логіку, що також є невід’ємною характеристикою математичної науки.

Геніальна інтуїція таких гігантів, як Ньютон, Лейбніц, Ейлер, допомагала їм уникати помилок. Але необхідно було створювати міцні логічні основи.

Із цього приводу згадаймо характерні висловлення тогочасних мислителів. Відомий математик М. Ролль писав, що нове числення є колекцією геніальних помилок. А великий французький філософ Вольтер зазначав, що це числення являє собою мистецтво обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено.

Рішучий крок до створення міцного фундаменту аналізу зробив у 20-х роках ХІХ століття французький математик О. Коші (1789—1857), запропонувавши точні означення границі функції та послідовності і на їх основі довівши багато принципових теорем аналізу. Дещо раніше (1821 р.) означення границі та неперерв­ності функції, багато інших важливих результатів (зокрема, знаменитий приклад функції, неперервної на проміжку, яка не має похідної в жодній його точці) подав чеський математик Б. Больцано (1781—1848), але його праці стали відомими значно пізніше.

Означення границі функції за Коші формулюється так: число називається границею функції при , що прямує до (записують ), якщо для довільного числа можна знайти таке число , що для всіх , які задовольняють нерівність .

Спираючись на це означення, уже неважко дати означення неперервності функції в точці: функція неперервна в точці , якщо .

Означення границі послідовності за Коші аналогічне: число є границею послідовності , якщо для кожного існує номер , такий що при усіх справджується нерівність .

Коші довів формульовані далі теореми про границі, якими ми фактично користуємося при обчисленні похідних:

Якщо , то існують границі суми, різниці, добутку та частки (при ) цих функцій, обчислювані за такими правилами:

,

,

.

(1)

Гасло багатьох математиків XVII століття було таке: «Рухайтеся вперед — і віра в правильність результатів до вас прийде».

13.2. Похідна

Поняття похідної

Нехай у = f (x) — неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо їй деякого приросту D х. Тоді функція y = f (x) набуде приросту (рис. 1)

D у = f (x + D x) – f (x).

Відношення приросту D у функції у = f (x) до приросту незалежної змінної х називається диференціальним відношенням: