Линейные, однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Так называются дифференциальные уравнения вида . Тогда функция , для любых чисел и , так же является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставим в исходное уравнение функцию .

, .

Подставим их в исходное уравнение

После преобразования, будем иметь

или

Здесь возможны следующие случаи

Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения и существуют два корня ; . Тогда решениями уравнения будут функции

Случай 2. . Покажем, что в этом случае решениями будут функции Действительно,

Решение. Составим характеристическое уравнение Решая его, получим . По первому случаю общее решение будет иметь вид .

Пример 120. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение. Составим характеристическое уравнение Решая его, получим . По третьему случаю общее решение будет иметь вид .

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 273; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!