Елементи векторної алгебри на площині

ЛЕКЦІЯ 5: ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Факторний метод прогнозування

У практиці реального управління підприємством (організацією) завжди є актуальною необхідність кількісного визначення впливу окремих факторів (чинників) на рівень продуктивності праці. Розрахунки базуються на виявленні резервів (невикористаних можливостей) зростання продуктивності праці, що виявляються як у просторі (для всіх ланок підприємства), так і в часі (за календарним графіком їхнього можливого використання).

Кількісний вплив окремих чинників на зміни у продуктивності праці на підприємстві визначається в такому порядку:

· розраховується вихідна чисельність промислово-виробничого персоналу в розрахунковому періоді (Ч_вих), тобто умовна чисельність, що була б необхідною для забезпечення планового (розрахункового) обсягу виробництва за збереження базового рівня виробітку продукції на одного працівника;

· визначається зміна (зменшення «–», зростання «+») вихідної чисельності працівників під впливом окремих чинників продуктивності праці, а також сумарна зміна чисельності ЕЧ;

· розраховується загальний приріст продуктивності праці у розрахунковому періоді (∆ПП) відносно базового періоду за формулою:

. (15.1)

Розрахунки змінювання вихідної чисельності працівників за фактором продуктивності праці, здійснюються, як правило, через порівняння затрат праці на весь обсяг продукції (послуг) за розрахунковими та базовими умовами діяльності відповідних категорій та груп працівників.

За неможливості зробити розрахунки за конкретними формулами (особливо це стосується виявлення впливу економічних та соціальних факторів), економія чисельності та відповідне зростання продуктивності праці визначаються на підставі експертних оцінок, ситуаційного аналізу, зіставлення з аналогами тощо.

Література:

1. Бойчик І.М. Економіка підприємства. Навч. пос. – К.: Атіка, 2002. – С. 67-76.

2. Экономика гостиниц и ресторанов: Учеб. Пособие / О.П. Ефимова, Н. А. Ефимова; Под.ред. Н.И. Кабушкина. – М.: Новое знание, 2004. – 392 с.

3. Економіка підприємства: Підручник/За заг. ред. С.Ф. Покропивного. – Вид.2-е, перер. і доп.-К.:КНЕУ, 2000.-С. 74-99

4. Економіка підприємств: Посібник/за ред. П.С. Харіва. – Тернопіль: Економічна думка, 2000. – С. 54-62

5. Економіка підприємства: Навч. посіб. / А.В. Шегда, Т.М. Литвиненко, М.П.

Рис. 4.1. Зображення вектора на площині

Вектором називається спрямований відрізок, що з’єднує точки А ₁ та А ₂, при цьому точка А ₁ називається початком, а точка А ₂ – кінцем цього вектора. Довжина відрізку А ₁ А ₂ називається модулем вектора і позначається або а. Нульовим вектором називається вектор нульової довжини.

Вектор з одиничним модулем називається одиничним вектором або ортом. Будь-який вектор може бути представлений за допомогою орта власного напряму у вигляді = а .

Через та позначимо орти додатних напрямків координатний осей Ox та Oy відповідно (див. рис. 3.1).

Проекції вектора на вісі Ox та Oy позначимо через a_x та a_y відповідно. Вони виражаються рівностями

a_x == x ₂– x ₁,

a_y == y ₂– y ₁,

і називаються також координатами вектора . Тут – кут напрямку вектора, А ₁(x ₁, y ₁) – початок, A ₂(x ₂, y ₂) – кінець вектора (див. рис. 4.1).

Вектори називаються рівними, якщо вони мають рівні довжини і однаковий кут напряму. Очевидно, що рівні вектори мають рівні координати.

Для знаходження суми векторів і , які мають спільний початок, застосовують правило паралелограма: їх сумою називається векторна діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах (див. рис. 4.1).

Для векторів і , розташованих послідовно (тобто так, що кінець вектора є початком вектора ), сума =+знаходиться за допомогою правила трикутника: початком вектора є початок вектора , а кінцем вектора є кінець вектора .

Різницею –векторів і називається вектор такий, що =+. Для векторів і , які мають спільний початок, різницею =–називається векторна діагональ паралелограма, яка з’єднує кінці векторів і .

Довжина цієї діагоналі є модулем різниці векторів і і знаходиться за теоремою косинусів:

==, (4.1)

де – кут між векторами і .

Аналогічно модулем суми векторів і є довжина іншої діагоналі цього паралелограма, яка знаходиться за формулою

==, (4.2)

де – кут між векторами і .

Будь-який вектор представляється у вигляді суми = a_x + a_y , де a_x та a_y – координати вектора . Використовується також запис вектора =(a_x, a_y). Нульовий вектор має нульові координати, тобто =(0;0).

Модуль вектора при цьому виражається через його координати за формулою =, а координати суми (різниці) векторів і :

+=; –=.

При множенні вектора =(a_x, a_y) на число отримуємо вектор

=( a_x, a_y).

Скалярним добутк ом векторів і називається число (скаляр), яке визначається рівністю , де – кут між векторами і .

Операція скалярного добутку має наступні властивості:

; ; ; .

Якщо =(a_x, a_y), =(b_x, b_y), то скалярний добуток

(4.3)

Використовуючи означення скалярного добутку та рівність (4.3), отримаємо вирази для косинуса кута між векторами =(a_x, a_y), =(b_x, b_y):

Враховуючи рівність (3.14), умова перпендикулярності векторів =(a_x, a_y), =(b_x, b_y) має вигляд

. (4.4)

Однаково спрямовані вектори, кут між якими =0, та протилежно спрямовані вектори, кут між якими , називаються також паралельними векторами (при цьому пишуть ||).

Умова паралельності векторів =(a_x, a_y), =(b_x, b_y) має вигляд

||. (4.5)

Зокрема, якщо координати a_x, a_y, b_x, b_y не рівні нулеві, з умови (4.5) слідує пропорційність відповідних координат паралельних векторів, тобто .

Відзначимо також, що у випадку ==(0;0) виконуються обидві умови (4.4) та (4.5). Це означає, що нульовий вектор вважається одночасно як перпендикулярним, так і паралельним до будь-якого вектора .

Приклад 1. Кут між векторами і дорівнює , а їх модулі а =2 і b =1. Знайти: а) скалярний добуток векторів +2і –; б) кут між векторами +2і –.

а) Використовуючи означення та властивості скалярного добутку, маємо === == = –1.

б) Обчислимо спочатку модулі векторів +2і –відповідно:

==2; ==.

Тепер, використовуючи також обчислене вище значення скалярного добутку =–1, знаходимо косинус кута між векторами +2і –:

.

Звідси слідує, що .

Приклад 2. Кут між векторами і дорівнює , а їх модулі а =2 і b =1. При якому значенні вектор є перпендикулярним до вектора ?

Враховуючи умову (14) перпендикулярності та властивості скалярного добутку векторів, маємо .

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 930; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!