Распространение плоской электромагнитной волны в

СРЕДЕ

ПЕРЕМЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В ПРОВОДЯЩЕЙ

ЛЕКЦИЯ № 43

Упражнения.

Решить следующие линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

1) Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

Решить следующие дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) . Ответ: .

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ

Рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью γ и магнитной проницаемостью .

Рассмотрим первое и второе уравнения Максвелла, записанные в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени Е и Н:

и .

В проводящей среде даже при очень высоких частотах произведение много меньше проводимости γ. Поэтому с большой степенью точности слагаемым в первом уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренебречь.

Тогда первое и второе уравнения Максвелла для проводящей среды приобретают вид:

; (1)

. (2)

Эти два уравнения представляют собой уравнения с двумя неизвестными и . Решим их совместно. Для этого возьмем ротор от уравнения (1):

.

Учтем, что , и поэтому . Вместо в соответствии с (2) подставим . Получим

. (3)

Уравнение (3) является дифференциальным относительно . В общем случае, когда зависит от всех трех или даже только от двух координат, решение уравнения (3) довольно сложно. Поэтому ограничимся рассмотрением его решения для частных случаев – для плоской и цилиндрической электромагнитных волн.

ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА

Под плоской электромагнитной волной понимают волну, векторы и которой расположены в плоскости xOy, перпендикулярной направлению распространения волны (ось z), и изменяются только в функции координаты z и времени t. В дальнейшем под плоской волной будем понимать плоскую линейно поляризованную волну, в которой вектор направлен вдоль одной, а вектор – вдоль другой координатной оси плоскости хОу. Плоская линейно поляризованная волна показана на рисунке 1.

Рисунок 1

На рисунке изображены для одного и того же момента времени векторы и в двух параллельных плоскостях, перпендикулярных оси z декартовой системы координат. Во всех точках первой плоскости (рисунок 1,а) напряженность электрического (магнитного) поля одинакова по значению и направлению. Во всех точках второй плоскости (рисунок 1,б) напряженность электрического (магнитного) поля также одинакова по значению и направлению, но не равна напряженности поля в первой плоскости. По определению плоской волны:

В плоской волне и являются функциями только одной координаты, в рассматриваемом случае – функцией только z.

Повернем координатные оси таким образом, чтобы ось y совпала с напряженностью магнитного поля . При этом , где – единичный орт оси y декартовой системы координат. Подставим в уравнение (3) и раскроем :

. (4)

Учитывая, что

и .

Имеем

. (5)

В уравнении (5) вместо частной написана обыкновенная производная. Переход от частной производной к обыкновенной для плоской волны является естественным, так как – это функция только одной переменной z. Уравнение (5) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение записывают следующим образом:

, (6)

где и – постоянные интегрирования; это комплексы, определяемые из граничных условий; для каждой конкретной задачи свои постоянные. Найдем постоянную распространения из характеристического уравнения :

. (7)

Если γ выражено в омметрах в минус первой степени , – в генри на метр (Гн/м), то постоянная распространения p выражается в метрах в минус первой степени . Так как

,

то p можно представить в виде:

, (8)

где

. (9)

Найдем напряженность электрического поля с помощью уравнений (1) и (6). Из (1) следует, что .

Найдем . В соответствии с уравнением (6) (учитывая, что и ) имеем

. (10)

Следовательно,

. (11)

Производная

. (12)

Выражение (11) показывает, что напряженность электрического поля в плоской волне при выбранном расположении осей координат направлена вдоль оси x, об этом свидетельствует присутствие единичного орта оси x (орта ). Таким образом, в плоской электромагнитной волне между и есть пространственный сдвиг в 90° (направлено по оси x, а – по оси у).

Частное от деления p на γ принято называть волновым сопротивлением:

. (13)

Волновое сопротивление , измеряемое в омах, зависит от свойств среды (от γ и ) и угловой частоты . В соответствии с (11) и (12) проекция на ось x равна

,

где

и .

Проекция на ось y:

,

где

и .

Компоненты падающей волны и определяют вектор Пойнтинга (рисунок 2,а), направленный вдоль положительного направления оси z. Следовательно, движение энергии падающей волны происходит вдоль положительного направления оси z. Компоненты отраженной волны и определяют вектор Пойнтинга (рисунок 2,б), направленный вдоль отрицательного направления оси z. Это означает, что отраженная волна несет с собой энергию вдоль отрицательного направления оси z. Волновое сопротивление можно трактовать как отношение . Волновое сопротивление является числом комплексным (см. формулу 13) и имеет аргумент 45°, поэтому сдвиг во времени между и для одной и той же точки поля тоже равен 45°.

Рисунок 2

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 836; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!