Свойства абсолютно сходящихся рядов

Теорема 39.7. Если ряд абсолютно сходится, то любой ряд, составленный из членов данного ряда, взятых, возможно, в другом порядке, тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Доказательство. Рассмотрим ряд , составленный из членов ряда . Так как ряд сходится, можно найти номер N такой, что | s_N – s | < . Выберем теперь номер М такой, что частичная сумма содержала все слагаемые, входящие в сумму s_N. Тогда для любого m > M частичную сумму можно представить в виде:

.

Тогда в будут входить только слагаемые с номерами, большими N, поэтому

.

Тогда при т > M получаем:

Следовательно, , то есть ряд сходится, и сумма его равна s.

Проводя подобные рассуждения для ряда , можно доказать и абсолютную сходимость ряда .

Теорема 39.8 (без доказательства). Если ряды и абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений u_mv_n членов этих рядов, тоже абсолютно сходится, и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.

Замечание. Указанные свойства справедливы только для абсолютно сходящихся рядов. Если ряд сходится условно, то перестановкой его членов можно изменять сумму ряда (теорема Римана) или получить расходящийся ряд. В частности, расходящимися в этом случае будут ряды, составленные из всех положительных и из всех отрицательных членов данного условно сходящегося ряда.

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 545; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!