Потенциальные векторные поля

Определение. Векторное поле A = { A_x, A_y, A_z } называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u = . (28/1.16)

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещен-ной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и другие.

Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из (28/1.16) следует, что то

так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что

rot A = 0 – (28/1.17)

- условие потенциальности векторного поля.

Определение. Векторное поле A = { A_x, A_y, A_z }, для которого rot A = 0, называется безвихревым.

Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихре-вым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потен-циальное.

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 669; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!