Абсолютная сходимость. Признак абсолютной сходимости ряда

Определение 30.1. Ряд называется абсолютно сходящимся рядом, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся рядом, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Например, сходящийся ряд есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, тоже сходится (эти ряды – геометрические прогрессии со знаменателями и ).

Напротив, ряд сходящийся (докажем это позже), но не абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, – гармонический ряд расходится.

♦ Теорема 30.5 (признак абсолютной сходимости ряда). Пусть для некоторого ряда

(30.17)

выполнено условие . Тогда:

1) если , то ряд сходится абсолютно,

2) если , то ряд расходится.

Доказательство. Наше условие – это признак Даламбера, применённый к ряду абсолютных величин

(30.18)

Отсюда вытекает, что если , то оба ряда (30.17) и (30.18) сходятся и, следовательно, сходятся абсолютно. Если же , то в силу замечания 30.2 не стремится к нулю при . В этом случае оба ряда (30.17) и (30.18) расходятся. ■

[1] Даламбер Жан Лерон (1717-1783) – французский математик, механик и философ-просветитель.