Определение условного экстремума

Во многих задачах на разыскание наибольших и наименьших значений функции вопрос сводится к разысканию и функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями.

Рассмотрим сначала вопрос об условном экстремуме функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием. Пусть требуется найти и функции (4) при условии, что и связаны уравнением: (5).

При наличии условия (5) из двух переменных и независимым будет только одно, например , т.к. определяется из (5) как функция от .

Из (4) находим :

=

Следовательно, в т. экстремума:

=0 (6)

Из (5) находим:

=0 (7)

(Умножим (7) на неопределенный коэффициент и сложим с (6)), получим:

+=0

или

(8)

Равенство (8) выполняется во всех точкам экстремума. Подберем так, чтобы для и , соответствующих экстремуму функции , вторая скобка в (8) обратилась в 0, т.е.:

Но тогда при этих значениях и из (8) следует равенство

.

Т.о., получается, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения

(9)

с тремя неизвестными и (вспомогательная переменная).

Система (9) является необходимым условием условного экстремума. Но не при всяких и удовлетворяющих системе (9) имеет место экстремум, поэтому необходимо проводить дополнительное исследование характера критической точки.

Заметим, что левые части уравнений (9) есть частные производные функции Лагранжа:

. (10)

Т.о., чтобы найти критические точки условного экстремума, надо составить функцию Лагранжа, приравнять 0 её частные производные по и и из полученной системы уравнений определить искомые и вспомогательный множитель .

Этот метод распространяется и на случай функций от переменных, связанных условиями:

, где

Чтобы найти критерии точки составим функцию Лагранжа:

=

Приравняем 0 её частные производные по :

Решая систему из уравнений определяем критические точки и вспомогательные параметры. А вопрос будет ли при найденных решениях функция иметь экстремум, оставим открытым, т.к. он требует вспомогательных исследований.

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 622; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!