Вимушені коливання струни

Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання

Щоб з’ясувати фізичний зміст розв’язку (4.12), проаналізуємо власні функції (4.8):

.

Виконаємо наступні перетворення: помножимо та поділимо на множник . Тоді:

Очевидно, що у всіх точках струни відбуваються гармонічні коливання з тою самою частотою і фазою . Амплітуда коливань залежить від абсциси точки струни і дорівнює:

При такому коливанні всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення в ту чи іншу сторону та одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання називаються стоячими хвилями на відміну від коливань безмежної струни, які називаються біжучими хвилями. Якщо зафіксувати n (нехай n = 1), то можна показати різні форми струни у різні моменти часу (Рисунок 4.2). При цьому кінці струни завжди залишаються нерухомими, а найбільшого відхилення функція досягає тільки в точці (у будь-який момент часу).

Рис. 4.2 – Форми струни у різні моменти часу при n = 1

При n = 2 нерухомих точок вже буде три: кінці струни і середня точка , а найбільшого відхилення функція досягає в точках та (Рисунок 4.3).

Рис.4.3 – Форми струни у різні моменти часу при n = 2

Взагалі нерухомих точок стояча хвиля буде мати стільки, скільки коренів має рівняння в інтервалі [0 ;l ].

Отже, таких точок буде (n + 1)з абсцисами х= 0; Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Всередині між ними будуть точки, в яких відхилення будуть максимальними. При цьому частоти коливань називаються власними частотами струни. Найменша із частот буде при n = 1:

.

Коли струна коливається, з’являється звук, висота якого буде зростати разом з частотою коливань. При цьому найнижчий (основний) тон буде відповідати власній частоті. Звук буде тим вищим, чим більше натягнута струна і чим вона коротша, та легша (тобто, чим більша сила натягу струни Т і чим менші довжина l та густина ρ). Решту тонів називають обертонами, або гармоніками. Таким чином, функція яка є розв’язком задачі про поперечні коливання скінченної струни являє собою суму окремих гармонік (при n =1, 2,...), які накладаючись одна на одну створюють досить складний коливальний процес.

Задача про вимушені коливання скінченної струни довжини l зводиться до інтегрування неоднорідного диференціального рівняння:

, , 4.13)

при заданих додаткових умовах:

П.У. К.У.

Тут функція є заданою у всій розглядуваній області.

Як і при розв’язуванні звичайних неоднорідних диференціальних рівнянь, розв’язок рівняння (4.13) можна шукати як суму двох функцій:

(4.14)

перша з яких задовольняє однорідне рівняння

, (4.15)

при умовах:

П.У. К.У.

а друга функція задовольняє неоднорідне рівняння

, (4.16)

при однорідних умовах

П.У. К.У.

Функція описує вільні коливання струни, зумовлені наявністю початкових відхилень та початкових швидкостей точок струни. Метод відшукання цієї функції нами вже з’ясовано раніше.

Функція описує вимушені коливання струни, зумовлені дією зовнішніх сил, якщо немає початкових відхилень та швидкостей. Для знаходження функції застосуємо метод Фур’є. Спробуємо знайти функцію як ряд за власними функціями

відповідної однорідної задачі, тобто візьмемо:

, (4.17)

де функції підлягають визначенню.

Крайові умови для функції задовольняються, бо всі власні функції задовольняють їх. Щоб задовольнити і початкові умови, досить покласти:

.

Підставляючи функцію в рівняння (4.16) одержимо

. (4.18)

З метою подальших перетворень розглянемо функцію як функцію однієї змінної (тобто вважатимемо параметром). Припустимо, що функцію можна розкласти в інтервалі в ряд Фур’є за синусами як функцію однієї змінної :

,

де

.

Щоб рівняння (4.18) задовольнялося, досить накласти вимогу, щоб коефіцієнти при синусах були однакові:

. (4.19)

Для визначення маємо звичайне лінійне неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами при нульових початкових умовах:

П.У.

Розв’язок рівняння (4.19) можна шукати методом варіації довільних сталих.

Таким чином, визначивши функції і , знаходимо розв’язок даної задачі як їх суму .

Приклад 4.3 Знайти коливання важкої струни із закріпленими кінцями, яка в початковий момент часу перебувала в стані спокою і мала форму .

Поставимо задачу:

, , ,

П.У. К.У.

Шукаємо розв’язок згідно наведеної методики у вигляді:

.

Знайдемо складові і із відповідних постановок.

1) Постановка задачі для :

, ,

при умовах:

П.У. К.У.

Знайдемо розв’язок цієї задачі за методом Фур’є:

,

де ,

для всіх , а для :

.

Тоді розв’язок:

.

3) Постановка задачі для :

, , ,

П.У. К.У.

Шукатимемо функцію у вигляді ряду:

.

Підставимо цю функцію в рівняння:

.

Розкладемо вільний член в ряд Фур’є за синусами:

,

де

Отже,

.

Для маємо рівняння

.

Прирівнюючи коефіцієнти при синусах, отримаємо:

.

Виключимо нульові значення в правій частині. Для цього достатньо ввести заміну нумерації:

,

Тоді

,

при початкових умовах:

П.У.

Одержали лінійне диференціальне рівняння другого порядку із спеціальною правою частиною. Розв’язок шукаємо у вигляді:

,

де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:

.

Розв’язавши характеристичне рівняння

,

маємо:

.

Тоді загальний розв’язок

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння , враховуючи праву частину, шукаємо у вигляді: .

Для знаходження невідомої сталої підставимо в рівняння:

.

Звідси

.

Тоді

.

Отже,

.

Знайдемо і із початкових умов:

Тоді

;

.

Відповідь:

Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 2396; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!