Интегрирование простейших рациональных дробей

Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Простейшие рациональные дроби и их интегрирование:

1 тип: , (A, a, b R)

2 тип: , (A, a, b, k R), k

3 тип:

Первый вычисляется методом замены переменной: +С, а второй интеграл – табличный.

4 тип: , где (не имеет действительных корней).

Пример 1. =…

5 тип: Общий случай: если подынтегральная функция правильная рациональная дробь. Знаменатель – многочлен n -ой степени может быть представлен в виде:

Q _n(x) =

Тогда, рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей.

R(x) =

В этом представлении A_i () и B_j () и С – неопределенные коэффициенты, которые можно найти следующим образом: приводим правую часть к общему знаменателю и после этого числитель правой части приравниваем к числителю левой части P_m (x). Этот метод называется методом неопределенных коэффициентов.

Пример 2: Вычислить

Решение.

1=

1. : 2. :

5.2. Интегрирование иррациональных функций

Пример 3: .