Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных функций и монотонных функций

Теорема 1. Для интегрируемости функции на отрезке необходимо и достаточно, чтобы при любом существовало такое разбиение данного отрезка, для которого .

Доказательство необходимости условия. Если , то при любом можно найти такие разбиения и , что и .

Следовательно, для разбиения .

Доказательство достаточности условия. Свойство 3) сумм Дарбу показывает, что . Для любого разбиения и . По предположению при любом найдется разбиение , для которого . Это показывает, что , а так как − произвольное положительное число, то .

Теорема 2. Функция , непрерывная на отрезке , интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть . Так как − равномерно непрерывная функция на отрезке , существует число такое, что будет . Если мелкость разбиения меньше , то будет (см. Рис 5).

Теорема 3. Монотонная, ограниченная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Если монотонна, то для любого разбиения отрезка имеем . В случае, когда получим (см. Рис. 6).

Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 1041; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!