Квантование энергии, момента импульса и проекции момента импульса

Атом водорода в квантовой механике.

Результаты, достигнутые боровской теорией в решении задачи об энергетических уровнях электрона в водородоподобных системах, могут быть получены в квантовой физике без привлечения постулатов Бора. Для этого осуществляют решение стационарного уравнение Шрёдингера, при рассмотрении поведения электрона в атоме:

, Е – полная энергия электрона в атоме:

.

Решение уравнения Шрёдингера в сферической системе координат r, ϴ, φ показывает, что значения энергии, которыми может обладать электрон:

– совпадает с выражением из теории Бора, n – главное квантовое число. Таким образом, последовательное решение уравнения Шрёдингера для электрона в водородоподобной системе приводит к энергетическим уровням без использования каких-либо постулатов.

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона для водородоподобной системы:

, n = 1, 2, 3, …

Для атома водорода в основном состоянии:

Его решение , где С = const (из условия нормировки). Дифференцируя:

, . После подстановки в уравнение:

или .

Это выполняется при:

, .

Отсюда: – первый боровский радиус;

– энергия основного состояния атома водорода.

Следовательно: , а вероятность того, что электрон находится в объеме dV шарового сегмента:

.

Исследуем на экстремум функцию :

; .

Боровские орбиты электрона представляют собой геометрические места точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.

Решение уравнения Шрёдингера для водородоподобной системы в сферических координатах позволяет получить важные результаты. Прежде всего, что момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле:

, = 0, 1, 2, …, (n – 1) – орбитальное квантовое число.

В соответствии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами:

ℓ =0 называют s -состоянием,

ℓ =1 называют p -состоянием,

ℓ =2 называют d -состоянием,

ℓ =3 называют f -состоянием и т.д.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электрон в состояниях с n =2 и ℓ =0 и ℓ =1 обозначаются соответственно символами 2 s и 2 p. Из курса электричества и магнетизма известно, что момент импульса электрона и пропорциональный ему магнитный момент связаны между собой и перпендикулярны к плоскости орбиты электрона:

, где – гиромагнитное отношение.

В квантовой механике не может быть определено положение плоскости орбиты электрона. Поэтому для указания ориентации векторов и выбирают направление либо внешнего магнитного поля, в котором находится атом, либо направление внутреннего магнитного поля, создаваемого электронами и ядром атома. На языке теории Бора возможность любых ориентаций вектора означает, что плоскость орбиты электрона может быть ориентирована произвольно по отношению к внешнему магнитному полю. Однако такое положение оказалось ошибочным. Существует пространственное квантование: вектор момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция вектора на направление Z внешнего магнитного поля принимает квантовые значения, кратные :

, где m_ℓ – магнитное квантовое число, принимающее значения:

, здесь ℓ – орбитальное квантовое число.

Следовательно, вектор может принимать ориентаций в пространстве.

p-состояние () d-состояние

Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнения Шрёдингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию ψ. Кроме того, так как при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электрона, то квантовая механика вообще отказывается от классического представления об электронных орбитах. Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объёма.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своём движении как бы «размазан» по всему объёму, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных частях объёма атома. Квантовые числа n и ℓ характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.