КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Функция является дробью, числитель и/или знаменатель которой содержат иррациональные выражения
|
|
|
|
Для раскрытия неопределенности этого типа следует освободиться от иррациональностей в числителе и в знаменателе.
Задача 1.3. Найти предел функции:
(1.4)
Решение. Подставим в данную дробь 
, получим:
.
Имеем неопределенность типа 
.
Для освобождения от иррациональности числителя умножим числитель и знаменатель дроби (1.4) на выражение, сопряженное разности 
Задача 1.4. Найти предел функции:
(1.5)
Решение. Подставим в числитель и знаменатель дроби величину 
:
Неопределенность типа . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель функции (1.5) на произведение сомножителей, сопряженных числителю: 
и знаменателю: 
. Получим:
2. Бесконечно большие функции.
Неопределенность типа 
Определение 2.1. Функция 
называется бесконечно большой (ББФ) при стремлении 
к 
, если она по модулю может стать больше любого, сколь угодно большого числа при достаточно малом значении модуля разности 
. Этот факт обозначается символом.
(2.1)
Если в определении (2.1) стремится к бесконечности, то равенства (2.1) примет вид:
(2.1*)
Примеры. 
Замечание. Мы не делаем различия в данном контексте бесконечно большие функции с различными знаками, 
или 
Справедливо утверждение: Функция, обратная бесконечно большой функции, является бесконечно малой. И наоборот, функция, обратная бесконечно малой функции, является бесконечно большой.
Например, 10. 
20. 
Мы рассмотрим неопределенность типа в случае отношения многочленов
при 
.
Теорема. Любой многочлен при неограниченно возрастает, независимо от знаков коэффициентов (мы не различаем 
или 
).
Доказательство. Имеем многочлен n- ойстепени:
(2.2)
вынесем за скобки в самой большой степени:
(2.2*)
При все члены в скобках (2.2*), кроме первого члена 
, стремятся к нулю, 
. Поэтому произведение, а значит и многочлен, неограниченно возрастают.
Раскрытие неопределенности, в свете доказанной теоремы, следует производить следующим образом: в числителе и знаменателе дроби выносим за скобки переменную в самой большой степени для всей дроби, производим сокращение и отбрасываем бесконечно малые функции.
Задача 2.1. 
Решение. 
,
Замечание. Вычисление пределов этого типа на практике обычно выполняется по-другому: производят деление числителя и знаменателя дроби на переменную в самой большой степени из тех, которые имеются в числителе и знаменателе дроби, и используют свойства пределов.
Решим задачу 2.1 в соответствии с приведенным замечанием.
Задача 2.1*.
Решение. 
Пределы дробей в числителе и знаменателе равны нулю, поэтому окончательно получаем:
Решение остальных задач мы проведем по образцу решения задачи 2.1*.
Задача 2.2. 
Решение. 
Задача 2.3. 
Решение. 
Разобранные примеры позволяют сделать следующие выводы:
· если степени числителя и знаменателя дроби одинаковы, то пределом дроби является число, не равное нулю;
· если степень числителя дроби меньше степени знаменателя, то предел дроби равен нулю;
· если степень числителя дроби больше степени знаменателя, то предел дроби не существует (функция неограниченно возрастает по модулю).
|
|
|
|
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 695; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!