Числовые ряды. Ряд - это бесконечная последовательность символов, соединенных знаком плюс

Общие понятия

Лекция 10. Ряды

Ряд - это бесконечная последовательность символов, соединенных знаком плюс.

(10.1)

Символы ,... называются членами ряда; - общий член ряда. Они могут обозначать числа, или функции, или векторы, или матрицы и т.п. Соответственно этому различают ряды числовые, функциональные, векторов, матриц.

В нашей лекции будут рассмотрены ряды числовые и функциональные. Эти ряды предоставляют математике широкие вычислительные возможности.

Пусть членами ряда (10.1) являются члены числовой последовательности . Числовая последовательность считается заданной, если задан ее общий член . Например, =2п - задает последовательность

четных чисел, = 2п-1 - последовательность нечетных чисел, - последовательность чисел, обратных натуральным, - последовательность целых чисел и т.д. Суммируя бесконечное число членов числовой последовательности можно получить числовые ряды с положительными членами или знакочередующиеся.

Важнейшим понятием теории рядов является понятие сходимости ряда. Ряд , называется сходящимся, если существует конечный предел его -й частичной суммы при , то есть , где . Число s называется суммой ряда. Если , ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Ряд называетсягеометрическим, так как он составлен из суммы членов бесконечной геометрической прогрессии. Из курса математики средней школы известно, что сумма его членов . Еепредел . Этот предел существует, то есть ряд сходится, только в случае . Тогда .

Пример 10.1. Ряд сходится, так как

Пример 10.2. Ряд расходится, так как

Пример 10.3. Ряд сходится, так как

Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 360; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!