Смешанное произведение векторов. Приложения векторного произведения

Приложения векторного произведения

Свойства векторного произведения.

1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна .
2. Момент силы , приложенной к точке , относительно точки равен .

Пример 2.3. Найти векторное произведение векторов , если известны координаты точек .

Решение. Сначала найдем координаты векторов по правилу «конец минус начало»:

. Далее возможны два способа решения.

I способ. Запишем векторы в виде и, с учетом свойств получим:

Всем пунктам определения векторного произведения отвечает вектор , таким образом .

II способ. Векторы заданы в базисе . Если ввести третью координату (например, 0), то можно найти их векторное произведение, пользуясь свойством :

Определитель в правой части

Ответ:

Смешанным произведением векторов называется число

.

Свойства вытекают из свойств скалярного и векторного произведений. В частности

.

Приложения смешанного произведения рис

1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен .

1а. Векторы компланарны .

2. Тройка правая ; тройка левая .

Пример 2.4. Выяснить, лежат ли векторы в одной плоскости. Найти смешанное произведение векторов , если

Решение. I способ. Воспользуемся результатом примера 2.3 и вычислим смешанное произведение по определению:

найденным ранее (см.) произведением

II способ. С учетом правила «конец минус начало», замечания… и свойства , получим:

Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 2978; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!