Векторы. Линейные операции над векторами

Определение 3. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Определение 4. Два коллинеарных вектора называются одинаково (противоположно) направленными, если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, или от общего начала.

Определение 5. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными.

Здесь .

Определение 6. Произведением вектора на число α или числа α на вектор называется вектор, длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , если α > 0, или противоположно направлению вектора , если α < 0.

Сумма двух векторов находится по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Определение 7 (правило треугольника). Суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , расположенного таким образом, что его начало совпадает с концом вектора .

Определение 8 (правило параллелограмма). Суммой векторов и называется вектор , являющийся диагональю параллелограмма,

построенного на векторах и как на сторонах.

D С В А

Определение 9. Разностью векторов и называется такой вектор , при сложении которого с вектором получается вектор .

§ 2. Прямоугольная (декартова) система координат

Прямую, на которой указано направление, будем называть направленной прямой.

Определение 1. Углом между векторами и называется угол между соответствующими сторонами параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Углом между вектором и направленной прямой L называется угол между вектороми любым вектором, направление которого совпадает с направлением прямой L.

Определение 2. Числовой проекцией вектора на направленную прямую L называется произведение длины вектора на косинус угла между вектором и прямой L: пр.

Числовые проекции векторов и на направленную прямую L имеют следующие свойства:

пр+ пр= пр, (2.1)

пр- пр= пр, (2.2)

пр= α пр. (2.3)

Справедливость формулы (2.1) видна, например, из следующего рисунка:

пр= АВ, пр= ВС,

пр= АС.

Формулы (2.2) и (2.3) получаются

аналогично.

L

А В С

Введем теперь понятие координат вектора. Для этого рассмотрим прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости.

Определение 3. Прямоугольной (декартовой) системой координат на плоскости называются две взаимно перпендикулярные направленные прямые (оси координат), проходящие через точку О (начало координат), на которых выбраны единичные отрезки. Одна из осей (Ох) называется осью абсцисс, другая (Оу) – осью ординат. Оси координат делят плоскость на четыре равные области – четверти или квадранты.

Определение 4. Координатами вектора называются числовые проекции вектора на оси координат.

Если х и у – координаты вектора , то будем писать = (х, у).

Пусть . В силу формул (2.1) – (2.3) имеем ,, т.е. над координатами векторов производятся те же операции (умножение на число, сложение и вычитание), что и над векторами.

Аналогично определяются координаты вектора в пространстве с помощью прямоугольной (декартовой) системы координат в пространстве.

Определение 5. Прямоугольной (декартовой) системой координат в пространстве называются три взаимно перпендикулярные направленные прямые (оси координат), проходящие через точку О (начало координат). Оси координат называются осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Они делят пространство на 8 областей – октантов.

Прямоугольная (декартова) система координат названа в честь Рене Декарта (1596-1650) – французского математика (Турень), жившего много лет в Голландии и умершего в Стокгольме, куда он был приглашен шведской королевой. Заслуга Декарта состоит прежде всего в том, что он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала семнадцатого века к геометрическому анализу древних и таким образом расширил область ее применимости. Основной труд – «Геометрия» (1637 г.).

С помощью прямоугольных (декартовых) координат на плоскости и в пространстве определяются координаты точек на плоскости и в пространстве.

Определение 6. Пусть А – произвольная точка трехмерного пространства, в котором задана прямоугольная (декартова) система координат. Вектор называется радиус-вектором точки А, а его координаты – координатами точки А.

Таким образом, в трехмерном пространстве каждая точка имеет три координаты - абсциссу х, ординату у и аппликату z: А (х, у, z).

Аналогично определяются координаты точки А на плоскости: А (х, у). Их две – абсцисса х и ордината у.