Системы линейных алгебраических уравнений

Если число уравнений системы (3.1) равно числу неизвестных, т.е. , то имеет место

Теорема 1. Если определитель матрицы системы (3.1) не равен нулю, то система (3.1) имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера

, (3.4)

где - определитель матрицы, получаемой из матрицы А системы (3.1) заменой j -го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство (не доказывал). Пусть - решение системы (3.1). Тогда все уравнения системы представляют собой тождества. Найдем . Для этого умножим 1-е уравнение системы на алгебраическое дополнение , 2-е – на ,..., n -е – на и сложим все уравнения системы. Получим

.

По свойству е) 1-я сумма равна , по свойству ж) остальные суммы в левой части равенства равны нулю, по свойству е) правая часть равна

.

Таким образом, имеем . Поскольку по условию, .

Аналогичные рассуждения проводим в общем случае при определении . Первое уравнение умножаем на , второе – на ,..., n -е – на , складываем полученные уравнения и на основании свойств е) и ж) определителей получаем

,

т.е. , откуда .

Таким образом, мы доказали, что если - решение системы (3.1), то числа определяются по формулам (3.4).

Обратно, покажем, что совокупность чисел , является решением системы (3.1). Действительно, подставляя (j = 1, 2, …, n) в левую часть k -го

уравнения системы (3.1), на основании свойств е) и ж) определителей, имеем

,

т.е. числа (3.4) являются решением системы (3.1). Теорема доказана.

Г. Крамер (1704-1752) – швейцарский математик.

Пример 1. Решим систему уравнений

Решение. Имеем . Поэтому решение системы можно найти по формулам Крамера (3.4). Поскольку 2 + 4 + 1 – 2 – 2 – 2 = 1, , , получаем х = , у = 1, . Ответ: .

Рассмотрим теперь частный случай системы (3.1), когда все .

Определение 8. Система уравнений вида

(3.5)

называется однородной СЛАУ.

Очевидно, что числа являются решением однородной системы (3.5). Это решение называют тривиальным решением однородной системы (3.5). Нетривиальное решение однородной системы (3.5) – это решение, не являющееся тривиальным.

Теорема 2. Если определитель матрицы однородной системы (3.5) не равен нулю, то эта система имеет только тривиальное решение.

Доказательство. В силу свойства г) определителя все . Поэтому по формулам (3.4) . Теорема доказана.

Теорема 3. Если система уравнений (3.5) имеет нетривиальное решение, то определитель ее матрицы необходимо равен нулю.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что . Тогда по теореме 2 система (3.5) имеет только тривиальное решение, что противоречит условию теоремы. Поэтому должно быть . Ч.т.д.

Для исследования СЛАУ в общем случае, когда , нам потребуется еще понятие ранга матрицы.

Определение 9. Рангом матрицы называется число, равное числу строк ступенчатой матрицы, эквивалентной данной матрице.

Ранг матрицы находится с помощью элементарных преобразований матрицы, распространенных также и на столбцы.

Пример 2. Найдем ранг матрицы .

Решение. С помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу А к ступенчатому виду. Прибавим к элементам 3-ей строки соответствующие элементы 1-ой строки, умноженные на -1, получим матрицу . Теперь к элементам 3-ей строки прибавим элементы 2-ой строки: . Вычеркнем 3-ю строку: - ступенчатая матрица, эквивалентная матрице А. Видим, что в ней две строки, поэтому ранг матрицы А равен 2.

Немецкий математик Кронекер Л. (1823-1891) и итальянский математик Капелли доказала следующую теорему.

Теорема 4 (Кронекера-Капелли). Система (3.1) m линейных уравнений с n неизвестными имеет решение тогда и только тогда, когда матрица системы и расширенная матрица системы имеют один и тот же ранг.

Доказывать теорему не будем.

Таким образом, из теорем 4 и 1 следует, что: 1) если ранг расширенной матрицы системы (3.1) больше ранга матрицы системы, то система решения не имеет, т.е. система (3.1) несовместна; 2) если эти ранги равны, но меньше n, то система (3.1) совместна и имеет бесконечно много решений, т.е. является неопределенной; 3) если ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны и равны числу неизвестных n, то система (3.1) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера (3.4). Других возможностей нет, так как ранг расширенной матрицы системы не может быть меньше матрицы системы.

Как искать решения системы (3.1) во втором случае? Это можно сделать по формулам Крамера, выбрав из системы (3.1) число уравнений, равное рангу матрицы системы, и решить полученную систему уравнений. Можно воспользоваться также методом Гаусса (методом исключения неизвестных).

Пример 3. Решим систему уравнений

Решение. Матрица системы , т.е. имеет ранг, равный 1.

Расширенная матрица системы тоже имеет ранг, равный 1, т.е. ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны, но меньше числа неизвестных. Поэтому оставляем одно уравнение системы , из которого находим , т.е. решение данной системы имеет вид , где х принимает произвольные значения, т.е. данная система имеет бесконечно много решений. Ответ: .

Пример 4. Решим систему уравнений

Решение. Матрица системы , т.е. имеет ранг, равный 1. Расширенная матрица системы имеет ранг, равный 2. Ранги не равны, поэтому система уравнений несовместна, т.е. решения не имеет.

Пример 5. Решим систему уравнений

Решение. Найдем сначала ранги матрицы системы и расширенной

матрицы системы . Для этого приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Вычтем из элементов 3-ей и 4-ой строк соответствующие элементы 1-ой строки, получим . Прибавим теперь к элементам 3-ей строки соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 2, а к элементам 4-ой строки соответствующие элементы 2-ой строки: . Вычтем из элементов 4-ой строки соответствующие элементы 3-ей строки: . Видим, что ранг расширенной матрицы В равен четырем, ранг матрицы системы А тоже равен четырем, так как . При этом неизвестных пять, т.е. больше ранга матрицы системы. Поэтому одно (пятое, так как определитель системы с первыми четырьмя неизвестными равен -4) неизвестное перенесем в правую часть уравнений системы и полученную систему (которая равносильна данной, так как элементарные преобразования мы проводили только над строками матрицы, т.е. над уравнениями системы)нкоторая равносильна данной, так как преобразования мы проводили только над строками матрицы, т.ицы системы, и решить полученну решаем либо по формулам Крамера, либо методом Гаусса, что проще. Воспользуемся методом Гаусса. Для этого находим из последнего уравнения системы и подставляем в остальные уравнения (исключаем из них , отсюда название – метод исключения неизвестных), получим или Теперь из 2-го уравнения находим и подставляем в 3-е и 4-е уравнения:

или Из 3-го уравнения находим и подставляем в 4-е уравнение: или Наконец, находя из 4-го уравнения системы , получим решение исходной системы , в котором неизвестное принимает произвольные значения, т. е. получаем бесконечно много решений данной системы уравнений. Это решение называют также общим решением данной системы уравнений. При конкретных значениях получаем частные решения данной системы. Например, если , то - частное решение данной системы уравнений.

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) – выдающийся немецкий математик. Родился в г. Брауншвейге. Сын поденщика. Начал делать открытия в 16-летнем возрасте. В книге Д.Я. Стройка «Краткий очерк истории математики» он назван вундеркиндом, юным гением, его роль в математике сравнивается с ролью Гегеля в философии, Бетховена в музыке, Гете в литературе.

В заключение параграфа заметим, что систему (3.1) можно записать в матричной форме

, (3.6)

где А = – матрица системы, – матрица-столбец неизвестных, – матрица-столбец свободных членов. Если , то для решения матричного уравнения (3.6) нужно найти матрицу , такую, что . Умножив уравнение (3.6) на слева, получим , откуда – решение матричного уравнения (3.6). Приравнивая соответствующие элементы матриц Х и , получим решение системы (3.1) (при ).

Определение 10. Матрица , для которой , называется обратной матрицей к квадратной матрице А.

В алгебре доказывается, что для матрицы , определитель которой не равен нулю, обратной матрицей является матрица , где , а – алгебраическое дополнение элемента .

Пример 6. Решим систему уравнений примера 1 матричным методом.

Решение. Имеем – матрица системы, = –2 (см. решение примера 1), – матрица-столбец неизвестных, – матрица-столбец свободных членов. Найдем обратную матрицу . Для этого сначала вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А, а затем элементы матрицы . Имеем , , , , , , , , , , , , , , , , , . Таким образом, матрица . Теперь найдем . Отсюда находим . Ответ: .