Нормальное распределение

Множество явлений и процессов, которые происходят в мире можно описать с помощью так называемого нормального распределения. Например, распределение высоты деревьев, массы людей, числа преступлений и т.д.

Рассмотрим биномиальное распределение, которое описывается с помощью формулы Бернулли:

Рис. 9.2. Биномиальное распределение с , увеличивающимся числом испытаний .

Пусть , а число испытаний равно (рис. 9.2).

Из рисунка видно, что происходит изменение формы кривой, огибающей верхние концы ординат, в зависимости от числа испытаний. При достаточно большом эта кривая с определенной степенью точности приближается к кривой, называемой плотностью нормального распределения. График ее – колоколообразная кривая.

Таким образом, нормально распределенная случайная величина есть непрерывная случайная величина и график ее плотности является пределом дискретного биномиального распределения случайной величины, когда число испытаний неограниченно возрастает.

Нормальное распределение проявляется не только как предел биномиального распределения. Законы распределения многих случайных величин, наблюдаемых в природе и общественной жизни, при выполнении определенных условий приближаются именно к нормальному закону распределения.

Нормальная случайная величина имеет плотность распределения, определяемую формулой:

(9.16)

где переменная принимает значения в интервале , – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение.

Свойства функции :

1) Нормальная кривая распределения расположена выше оси абсцисс.

2) При неограниченном возрастании по абсолютной величине стремится к нулю, значит, ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой кривой нормального распределения.

3) Максимальное значение функция принимает в точке, соответствующей математическому ожиданию случайной величины . При этом .

4) Кривая симметрична относительно прямой .

5) Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба, симметрично расположенные относительно прямой :

и (9.17)

Изменение параметра при неизменном приводит к перемещению оси симметрии () вдоль оси абсцисс и, следовательно, – к соответствующему перемещению кривой распределения. Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшением вершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более островершинной (вытянутой вдоль оси симметрии). С увеличениемкривая распределения менее островершинна и более растянута вдоль оси абсцисс.

Одновременное изменение параметров и приведет к изменению и формы, и положения кривой нормального распределения. Нормальное распределение будем обозначать следующим образом: . На рис. 9.3 изображено нормальное распределение.

Нормальный закон распределения с параметрами и называется стандартным или нормированным и обозначается :

(9.18)

Значения функции рассчитаны для всех аргументов и сведены в таблицу, которую можно найти в различных справочниках и учебниках по теории вероятностей и математической статистики.

Свойства функции:

1) функция четная;

2) с увеличением аргумента по абсолютной величине, монотонно убывает и при имеет прелом нуль;

3) при , при , поэтому при можно считать, что . В связи с этим таблицы ограничены значениями функции для аргументов или .

4) Максимальное значение функции принимает при и равно .

Любая нормально распределенная случайная величина может быть преобразована в стандартную нормально распределенную случайную величину.

Сравнивая формулы (9.16) и (9.18), можно сделать вывод, что плотность случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно записать так:

(9.19)

Математическое преобразование случайной величины в , распределенную по стандартному нормальному закону достигается вычитанием из , а затем делением результата на :

(9.20)

Определение 9.6. Функция распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле:

(9.21)

(9.22)

– функция Лапласа (рис.9.4). Эта функция табулирована.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал равна:

(9.23)

(интегральная формула Муавра-Лапласа),

где ;

; (9.24)

Вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна:

(9.25)

где .

Иногда в таблицах приводится функции Лапласа следующего вида:

(9.26)

Тогда для нахождения вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал необходимо воспользоваться формулой:

(9.27)

Контрольные вопросы

1. Понятие числовых характеристик случайной величины. 2. Математическое ожидание для дискретной и непрерывной случайной величины. 3. Свойства математического ожидания. 4. Дисперсия для дискретной и непрерывной случайной величины. 5. Свойства дисперсии. 6. Среднеквадратическое отклонение. 7. Нормальное распределение случайной величины. 8. Свойства нормального распределения. 9. Стандартный нормальный закон распределения. 10. Как рассчитать вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону в данный интервал?

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 350; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!