Определение ряда Тейлора, ряда Фурье. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Определение функциональных последовательностей и рядов, определение степенного ряда, радиуса и области сходимости.

Лекция № 28.

Функциональные последовательности.

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Определение. Последовательность { f_n(x) } равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Построим графики этой последовательности:

sinx

Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.

Функциональные ряды.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке х₀.

Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членам:

т.е. имеет место неравенство:

.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b], сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = -1: ряд сходится по признаку Лейбница.

При х = 1: ряд расходится (гармонический ряд).

Теорема Лейбница.

Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

1.

2.

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x₁, то он сходится и притом абсолютно для всех .

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x<x₁ численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х₁, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2с центром в точке х = 0.

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Теорема. Если степенной ряд сходится для положительного значения

х=х₁, то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .

Разложение функций в ряд Тейлора.

При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд

называется рядом Тейлора для функции в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена: . Функция может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число , такое, что для всех и для всех справедливо неравенство . Тогда ряд Тейлора сходится к для всех . Приведем разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций.

Разложение функции в ряд Фурье.

Пусть функция абсолютно интегрируема на отрезке , то есть существует . Тогда ей можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье:. Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера-Фурье: . Если функция кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если - сумма ряда Фурье, то для любого . То есть, если непрерывна в точке , то . Если в точке у разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке.

Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке.

Для кусочно-гладкой на отрезке функции задача о разложении в ряд Фурье на этом отрезке линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке , .

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 578; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!