Вычисление объемов тел вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 8.8.), ограниченной кривой , осью и прямыми В этом случае любое сечение полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , есть круг радиуса , площадь которого равна .

Составим интегральную сумму. Разобьем отрезок произвольно на частей. Возьмем частичный отрезок , выберем на нем произвольную точку . В точках и восстановим перпендикуляры и построим элементарный прямоугольник высотою с основанием , (рис. 8.9.). В результате вращения этого прямоугольника вокруг оси получится элементарное цилиндрическое тело, радиус которого , а высота . Объем такого цилиндрического тела равен , а сумма всех элементарных цилиндрических тел дает интегральную сумму

Последовательность интегральных сумм для непрерывной на отрезке функции при и имеет предел. Его и называют объемом тела вращения вокруг координатной оси , то есть

, короче (рис. 8.9)

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси следует вычислить по формуле

или (рис. 8.10)

Замечание. Если вокруг оси вращается фигура, ограниченная двумя кривыми и , причем <на отрезке , то

(рис. 8.11)

Аналогично для фигуры, вращающейся вокруг оси

(рис. 8.12)

Пример 8.12. Найти объем тора, образованного вращением круга вокруг оси . Предполагается, что .

Решение. Круг радиуса с центром в точке с координатами будем рассматривать как фигуру, ограниченную дугами двух полуокружностей:

верхней(дуга ADB, рис. 8.10)

и нижней (дуга AFB).

По формуле (8.11) получим

Употреблена подстановка Новые пределы интегрирования такие: при при .

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 404; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!