Случайные фракталы

Все объекты, с которыми сталкивается человек, можно разделить на искусственные и естественные. Все искусственные объекты имеют, как правило, четкие формы, в то время как формы естественных объектов в большинстве своем являются неправильными. Поэтому такие образования, как горные хребты, береговые линии или облака не обладают подобием, в смысле неизменностью, при линейном увеличении или уменьшении. При изменении масштаба рассмотрения объектов случайным образом меняются их отдельные элементы. Принцип самоподобия в приведенных случаях необходимо рассматривать со статистических позиций, то есть понятие «подобный» необходимо толковать как «похожий».

Отдельную группу, предназначенную для моделирования природных объектов, образуют случайные фракталы. Наиболее наглядным случайным фракталом является рандомизированная снежинка Кох. Для ее получения достаточно на каждом шаге итерационного процесса обращать вовнутрь или наружу вершину нового строящегося треугольника (рис. 2.17).

Рисунок 2.17 – Рандомизированная кривая Кох

Фрактальная размерность построенной таким образом кривой остается прежней. Предельная кривая рандомизированной снежинки Кох может служить прекрасной моделью, например, контура облака или острова. Аналогичный подход может быть реализован при построении фракталов с помощью L -систем, когда случайным образом реализуется, например, операция ветвления. Построенные таким образом деревья, растения или снежинки будут иметь более естественный вид. В приведенных примерах рандомизации подвергаются лишь отдельные параметры итерационного процесса, в то время как сам алгоритм (система итерированных функций) построения фракталов остается неизменным – детерминированным.

Очевидно, что итерационный процесс также может быть случайным. Для того, чтобы в результате этого процесса осуществлялось построение именно фракталов, необходимо выполнение принципа статистического самоподобия. Свойством статистического самоподобия обладает винеровский процесс (броуновское движение), имеющий нормальное распределение.

Винеровский процесс является марковским («будущее» процесса не зависит от «прошлого»), если значение процесса в текущий момент времени зависит только от значений в предыдущий момент времени и величины приращения. Пример винеровского процесса показан на рисунке 2.18.

Рисунок 2.18 – График винеровского процесса во времени

Говоря формально, некоторая переменная z подчиняется винеровскому процессу, если она имеет следующие свойства.

Свойство 1. Изменение Δz на протяжении малого промежутка времени Δt удовлетворяет равенству:

(2.21)

где ε – случайная величина, подчиняющаяся стандартному нормальному распределению ø (0,1), – стандартное отклонение, зависящее от времени процесса.

Свойство 2. Величины Δz на двух малых промежутках времени Δt являются независимыми.

Из первого свойства следует, что величина Δz имеет нормальное распределение, у которого математическое ожидание равно нулю, стандартное отклонение равно а дисперсия равна Δt.

Второе свойство означает, что величина z подчиняется марковскому процессу (независимости одного распределения от другого).

Квадратный корень получается из-за того, что при анализе марковского процесса дисперсии изменений переменной в последовательные моменты складываются, а стандартные отклонения – нет. Если дисперсия изменений переменной в течение одного года равна 1,0, то дисперсия изменений этой переменной в течение двух лет будет равна 2,0, а через три года – 3,0. В то же время стандартные отклонения изменений переменных через два и три года будут равны и , соответственно. Строго говоря, мы не должны говорить, что стандартное отклонение изменений переменной за один год равно 1,0 в год. Следует говорить, что оно равно «корню квадратному из единицы в год». Это объясняет, почему величину неопределенности часто считают пропорциональной квадратному корню из времени.

Приращения винеровского процесса обладают свойствами статического самоподобия. Для них справедливо:

, (2.22)

или

для любого .

Здесь величина является коэффициентом статистического самоподобия, а символ означает, что две случайные величины имеют одинаковые дифференциальные законы распределения.

Определим фрактальную размерность винеровского процесса. Без потери общности полагаем, что значения аргумента находятся в интервале [0,1]. Разделим этот интервал на п равных подинтервалов одинаковой длины и таким же образом разделим вертикальную ось на подинтервалы длины , как показано на рисунке 2.19.

Рисунок 2.19 – Клеточное покрытие функции на подинтервале

Выражение будет служить в качестве оценки числа квадратов размера , необходимых для покрытия части графика , расположенной над одним подинтервалом. Это число пропорционально – отклонению (многие считают квадратный корень из времени величиной неопределенности).

Всего имеется таких подинтервалов, поэтому общее число квадратов пропорционально = , то есть:

.

Таким образом, фрактальная размерность винеровского процесса:

Наиболее удобно фрактальный винеровский процесс определить при помощи параметра Херста , который характеризует уровень самоподобия для случайного процесса. При фрактальный винеровский процесс совпадает с классическим винеровским процессом. В таком случае фрактальная размерность и параметр H связываются выражением:

(2.23)

Как видно из (2.23), изменяя параметр Н, можно менять фрактальную размерность.

Визуально можно отметить следующие изменения в реализациях фрактального винеровского процесса для различных значений Н (рис. 2.20). Увеличение Н приводит не только к уменьшению , но и к уменьшению дисперсии процесса, то есть он становится менее «изрезанным», более гладким, с небольшими отклонениями от математического ожидания. Изменяя Н, можно менять вид случайного фрактала.

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1505; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!