Розв,язання диференційного рівняння теплопровідності

Існує декілька способів розв’язання диференційного рівняння теплопровідності. Зупинимось на методі розділення змінних.

Будемо шукати розв^,язок для функції у вигляді добутку двох функцій:

, (4.21)

де залежить тільки від , а - тільки від . Підставимо розв^,язок (4.2) у рівняння (4.19), отримаємо

,

тобто

Ліва частина (4.22) залежить тільки від , а права тільки від . Рівнясть має виконуватись при будь-яких значеннях та . Це можливо тільки тоді, коли ліва та права частини (4.22) дорівнюють сталій величині

; (4.23)

(4.24)

Після інтегрування (4.23) маємо

.

Із фізичних міркувань температура не може досягнути нескінченності. Тому має бути виконана умова вважаємо .

Тоді

(4.25)

(4.26)

Звичайні диференційні рівняння мають такі розв^,язки

(4.27)

або . (4.28)

Таким чином

,

або

Взагалі кажучи, маємо

(4.29)

Постійні величини С, D і визначаються із крайових умов задачі. Оскільки кількість цих величин нескінченна, то

(4.30)

Велиина має бути безрозмірною. Це можливо, якщо , а

Тоді маємо

(4.31)

Виходячи із загального розв^,язку (4.31), можна отримати розв^,язок задачі теплопровідності для конкретних граничних умов.

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 265; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!