Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Контрольні запитання

1. Що характеризує момент імпульсу матеріальної точки?Як його знайти?

2. В яких випадках момент імпульсу матеріальної точки дорівнює нулю?

3. Як знайти момент імпульсу механічної системи?

4. Як знайти момент імпульсу твердого тіла відносно заданої осі?

5. Що таке момент інерції твердого тіла? Що він характеризує? В яких одиницях вимірюється?

6. Як формулюється теорема Гюйгенса-Штейнера?

7. Сформулюйте теорему про зміну моменту імпульсу механічної системи.

8. Чи можуть внутрішні сили змінити момент імпульсу механічної системи? Чому?

9. В яких випадках моменту імпульсу механічної системи зберігається?.

Величина, яка характеризує рух тіла, називається кінетичною енергією. Ця скалярна величина завжди додатна, залежить тільки від стану механічної системи, і може бути знайдена за наступними правилами.

1. Якщо тверде тіло здійснює поступальний рух, то швидкості всіх його точок однакові і його кінетична енергія визначається як половина добутку маси тіла на квадрат швидкості

= . (7.1)

2. Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі (наприклад, ) з кутовою швидкістю , то його кінетична енергія дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат кутової швидкості

. (7.2)

3. Якщо тверде тіло здійснює плоский рух, то такий рух можна розглядати як суперпозицію двох простих рухів – поступального руху центра мас зі швидкістю та обертального руху з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через центр мас перпендикулярно площині руху. Тоді його кінетична енергія визначається як

+ . (7.3)

7. Якщо механічна система складається з декількох тіл, то її кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл, що входять в систему, тобто

. (7.4)

Нагадаємо, що розмірністю кінетичної енергії в системі SI є 1 Дж = 1 Н·м.

Робота є фізична величина яка характеризує міру передачі руху від одного тіла до іншого. Ця фізична величина теж має розмірність джоуль, але її величина залежить від процесу передачі руху, і може бути як додатною, так і від’ємною. Елементарна робота сили при елементарному переміщенні матеріальної точки на визначається за правилами скалярного добутку як

= ·= , (7.5)

де – кут між векторами та . Отже, ця величина

– додатна, якщо кут між напрямом сили та переміщенням гострий;

– дорівнює нулю, якщо цей кут прямий;

– від’ємна, якщо цей кут тупий.

Робота сили при переміщенні матеріальної точки від точки до точки визначається інтегралом

= . (7.6)

Розглянемо роботу конкретних сил, які можуть діяти в механічній системі.

1. Робота сил однорідного поля тяжіння виконується силами тяжіння при переміщенні тіла (матеріальної точки) масою з початкового в кінцеве положення. Ця робота не залежить від форми траєкторії, і визначається лише різницею кінцевого та початкового положень тіла вздовж вертикалі. Наприклад, при переміщенні тіла з положення 1 в положення 2 (догори) по довільній траєкторії (рис. 7.1), робота сил тяжіння визначається як

, (7.7)

і буде від’ємною оскільки > . В таких випадках говорять про виконання роботи проти сил тяжіння. Навпаки, при переміщенні тіла з положення 2 в положення 1 (вниз) робота сил тяжіння буде додатною

> 0, (7.8)

і говорять про те, що така робота виконана силами тяжіння.

2. Робота сили пружності при розтягуванні (стискуванні) пружини жорсткістю від початкового положення до кінцевого положення визна-чається як

, (7.9)

де – довжина недеформованої пружини, і також не залежить від траєкторії точки, а залежить лише від початкового та кінцевого положень.

3. Робота сил при повороті тіла на кінцевий кут при обертанні навколо нерухомої осі (наприклад, ) визначається рівнянням

, (7.10)

де – момент зовнішньої сили відносно нерухомої осі, а – кут, на який повернулося тіло.

7. Робота сил тертя ковзання. Оскільки сила тертя завжди напрямлена в бік, протилежний відносній швидкості (проти переміщення), то робота сила тертя визначиться взятому зі знаком мінус добутку модуля сили тертя = (– коефіцієнт тертя ковзання, – реакція опори) на довжину траєкторії

. (7.11)

5. Робота сил тертя кочення. Якщо тіло котиться без ковзання по поверхні іншого нерухомого тіла, сила тертя кочення створює момент = і для роботи сили тертя кочення отримуємо

, (7.12)

де – – коефіцієнт тертя кочення, – кут, на який повернулося тіло.

Зауважимо, що на відміну від кінетичної енергії системи, яка є функцією стану системи, робота є функцією процесу, які мають місце в системі, Одначе, між цими величинами існує певний зв’язок. Якщо в процесі руху механічна система перейшла з одного стану, який вона мала в момент часу = 0, в інший, що відповідає моменту часу , то зміна кінетичної енергії визначається роботою сил, які прикладені до системи

, (7.13)

де та – кінетична енергія механічної системи в кінцевому та початковому станах, а – повна робота, яку здійснюють при цьому переміщенні всі прикладені до системи внутрішні () та зовнішні () сили.

Рівняння (7.13) є записом теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії механічноїсистеми за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт внутрішніх та зовнішніх сил, які діють на елементи системи протягом даного проміжку часу.