Прямое вычисление вероятностей

Методы анализа надежности на основе теорем теории вероятностей

Методы анализа надежности технических систем

Алгебраически, дифференциальные и интегральные уравнения

3.7.1. Алгебра

Для расчета надежности несложных схем часто достаточно применения основных теорем теории вероятностей: сложения вероятностей, умножения вероятностей, полной вероятности и других.

Основная идея состоит в том, чтобы обозначить через события работоспособность i-ого элемента системы в момент времени t, а через событие - работоспособность всей системы. Затем нужно выразить через , т.е. работоспособность системы через работоспособность элементов. Или, наоборот, через - отказ системы через отказы элементов. На последнем шаге вычисляются вероятности или . Для невосстанавливаемой и восстанавливаемой системы – это будут соответственно вероятности безотказной работы/вероятности отказа и функции готовности/простоя. Для получения конечных значений понадобится знание вероятностей отказов/безотказной работы отдельных элементов. Если отказы элементов зависимы, то тогда понадобится знание условных вероятностей безотказной работы/отказов одних элементов при условии безотказной работы/отказов других элементов.

Рассмотрим пример (а) системы, описываемой следующей структурной схемой:

Здесь - вероятность нахождения i-ого элемента системы в работоспособном состоянии в момент времени t: (иногда удобно использовать и обозначение ). Также будем считать, что отказы и восстановления элементов в системы независимы. Сначала выразим :

Тогда,

Рассмотрим другой пример (б) в тех же предположениях и найдем функцию простоя:

В этих примерах было достаточно воспользоваться самыми простыми формулами теории вероятностей. Теперь рассмотрим более сложный пример (в) мостиковой структуры:

Данная структура может представлять собой систему передачи энергии от производителя слева к потребителю справа, а отдельные элементы представлять линии передачи, на которых может произойти обрыв. Для нахождения готовности такой системы уместно применить формулу полной вероятности.

Предположим две несовместный гипотезу, образующие полную группу событий: - пятый элемент исправен и - пятый элемент неисправен. Тогда функцию готовности системы можно вычислить:

Очевидно, что , а . При выполнении гипотезы 1, схема приводится к виду из примера (а). При выполнении гипотезы 2, схема приводится к виду из примера (б). Дальше несложно получить общее выражение:

До этого мы рассматривали системы, в которых предполагали независимость отказов элементов. Теперь рассмотрим случай (г) невосстанавливаемой дублированной системы, где происходит резервирование замещением:

Определим для этой системы вероятность отказа за время t - . Отказ системы произойдет, если откажут оба элемента. Обозначим через отказ i-ого элемента в момент времени t. При этом нам известно, что второй элемент может отказать только после отказа первого. В итоге выразим событие отказа системы в интервале [0;t]:

Вероятность отказа всей системы будет равна:

Отказы элементов в этом случае не будут независимыми, т.к. наработка до отказа второго элемента напрямую зависит от наработки до отказа второго элемента:

Предположим, что плотности вероятности отказов элементов распределены по экспоненциальному закону:

Окончательный ответ:

Если подставить значения t=0 и t=, то можно убедиться в непротиворечивости полученной формулы:

Предположим, что . Применить полученную формулу для этого случая невозможно. Но можно вывести отдельную формулу для этого случая:

И результатов видно, что надежность резервированной системы действительно выше надежности нерезервированной системы.

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1082; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!