Різні форми рівняння площини

Площина як алгебраїчна поверхня першого порядку.

Найбільш загальне рівняння алгебраїчної поверхні першого порядку має вигляд

, (3.12)

де А, В, С, D – числа, при чому хоча б одне з чисел А, В, С, не дорівнює нулю.

. (3.13)

Це рівняння називають рівнянням площини за точкою і нормальним вектором.

Розкриємо дужки:

і позначимо . Одержимо рівняння вигляду (3.12):

.

Таким чином, будь-яка площина є алгебраїчною поверхнею першого порядку, а коефіцієнти А, В, С у рівнянні (3.12) є координатами нормального вектора площини.

В свою чергу легко показати, що будь-яке рівняння (3.12) є рівнянням площини. Нехай – яка-небудь трійка чисел, що задовольняє рівняння (3.12), тобто – вірна рівність. Віднімемо почленно цю рівність від (3.12) і одержимо рівняння, еквівалентне (3.13)

,

тобто рівняння площини, яка проходить через точку і має нормальний вектор . Тому рівняння (3.12) називають загальним рівнянням площини.

В деяких задачах виникає потреба знайти рівняння площини, яка проходить через три задані точки. Нехай точки , і не лежать на одній прямій (рис.3.6). Тоді вектори і лежать у площині (Р) = (М ₀ М ₁ М ₂) і не колінеарні. Будь-яка точка простору належить до площини (Р) тоді і тільки тоді, коли вектори , , компланарні. А для компланарності трьох векторів необхідно і достатньо (п.2.8, формула (2.25)), щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю:

(;;) = 0.

Визначивши мішаний добуток через координати векторів, одержимо рівняння площини за трьома точками:

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 712; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!