Перевод между СС с основаниями, являющимися степенями двойки

АСС5А6

А16 АВС901

1 012344

А8 777777

+101

7237,7 = 7000 + 200 + 30 + 7 + 0,7

Это значит, что первая семерка означает кол-во тысяч, вторая – кол-во единиц, а последняя – кол-во десятых долей единицы. Таким образом, в зависимости от того, где находится одна и та же цифра в числе – эта цифра имеет разный вес.

Во всех ЭВМ применяется позиционная СС. В позиционной СС каждое число представляется последовательностью цифр, причем каждой позиции цифры X_i присвоен определенный вес bⁱ , где b - основание СС:

D = X_n * bⁿ + X _n-1 * b ^n-1 + …+ X₀ * b⁰ = x_nx _n-1…x₀

Например, число 1997 в СС с различными основаниями представляется как:

© 10СС – 1997=1*10³+9*10²+9*10¹+7*10⁰

© 2СС – 1997=1*2¹⁰+1*2⁹+1*2⁸+1*2⁷+1*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=

=11111001101₂

© 8СС – 1997=3*8³+7*8²+1*8¹+5*8⁰=3715₈

© 16СС – 1997=7*16²+12*16¹+13*16⁰=7CD₁₆

Любое число в позиционной СС, не считая крайних нулей, представляется единственным образом. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, крайняя справа – цифрой младшего разряда. Число в позиционной СС представляется либо степенным рядом:

либо схемой Горнера:

где Х_i – любая цифра из алфавита СС с основанием b; m, l – число разрядов соответственно для целой и дробной частей числа.

В современных ЭВМ используют позиционные СС с основаниями 2, 8, 16.

Количество используемых в СС цифр называется основанием (b) СС, а место каждой цифры в числе называется позицией. Рассмотрим разные СС и определим для них основание.

Для удобства представления чисел в различных СС можно пользоваться таблицей степеней 2, 8 и 16.

Представление чисел 10CC диапазона [1 – 50] в 2СС – 9СС, 16СС содержится в таблице на стр. 4.

Сложение и вычитание положительных чисел в различных СС аналогично действиям в 10-й СС. На рис. ниже показано графическое представление чисел без знака для 2-й, 8-й и 16-й СС.

На рис. показано круговое, или «модульное», представление чисел. Пусть указатель в исходный момент задает какое-либо число А. Переместив по часовой стрелке указатель на N позиций, мы прибавим к А число N. Переместив против часовой стрелки указатель на N позиций, мы отнимем от А число N. В некоторых случаях результат операции сложения выходит за пределы диапазона СС, т.е. указатель по часовой стрелке перейдет границу между последней цифрой диапазона и нулем. Тогда в старший разряд числа организуется перенос, т.е. значение этого старшего разряда увеличивается на единицу. Например, рассмотрим сумму чисел в 2-й СС:

˛˛

складываем 2 младших разряда 1+1; графически определяем, что это – 0; делаем перенос в старший (второй) разряд. Перенос означает сдвиг на 1 вправо по кругу. Сумма во 2-м разряде опять равна 0; делаем перенос в старший разряд. В нем сумма 1+1+1=1, и перенос в старший разряд. В итоге получаем: 111+101=1100.

Также организуется сложение в 8-й и 16-й СС:

˛˛˛˛˛

+В₈ 12345

˛˛˛

+В₁₆ FСА5

Если результат операции выходит за пределы диапазона системы, т.е указатель переходит против часовой стрелки через 0, то нам приходится делать заем из старшего разряда. В этом случае добавляем к младшему разряду основание СС. Например, найдем разность между 10001 и 101 в 2-й СС:

ØØØ

- 101

Начинаем вычитание с младшего разряда: 1-1=0. В следующем разряде 0-0=0. В 3-м разряде нужен заем. Этот заем равен основанию счисления 2-й СС: 10. Взять заем из 4-ого от конца разряда нельзя, т.к. там 0. Обращаемся в самый сташий разряд { 1 }, делаем заем сначала в 4-й, а затем в 3-й от конца разряд.

Получаем, что 10001-101=1100.

Примеры: представить в 2-й СС числа:

57₁₀=32+16+8+1=1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2⁰=111001₂

511₁₀=256+128+32+16+8+4+2+1=1*2⁸+1*2⁷+1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹*1+2⁰=

=111111111₂

представить в 8-й СС числа:

57₁₀=56+1=7*8¹+1*8⁰=71₈

511₁₀=7*64+7*8+7*1=7*8²+7*8¹+7*8⁰=777₈

представить в 16-й СС числа:

57₁₀=3*16+9=3*16¹+9*16⁰=39₁₆

511₁₀=256+15*16+15*1=16²+15*16¹+15*16⁰=1FF₁₆

Правило перевода из 10-й в любую другую СС для целых чисел: чтобы перевести целое число из СС с основанием 10 в СС с основанием q, нужно это число последовательно делить на новое основание q до тех пор, пока остаток не окажется меньше этого основания. В новой СС число запишется в виде остатков деления, начиная с последнего (рис. слева), а в качестве старшей цифры (символа) слева приписывается последнее частное. Все действия

производятся в исходной СС, например:

25₁₀ ®?₂

25₁₀=11001₂ ® 1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=25₁₀

Для простоты написания перевода в 2-ю СС используется запись вида: ® (рис. справа)

Правило для перевода из 10-й в любую другую СС для дробных чисел: чтобы правильную дробь перевести из СС с основанием 10 в СС с основанием q, нужно последовательно умножать дробную часть (сначала самого числа, а потом получающихся произведений) на новое основание q до тех пор, пока:

æ либо дробная часть получаемого произведения на станет равна 0;

æ либо не будет достигнута нужная точность – заданное число цифр после запятой;

В новой СС число запишется в виде последовательности целых частей получаемых произведений, начиная с первого.

См. пример слева на схеме.

0.125₁₀=0.001₂

Все действия производятся в исходной СС.

Пример: 234.67₁₀ ®?₂

© переводим целую часть; (см. схему)

© переводим дробную часть: 0.67*2=1.34

у 1.34 отбрасываем целое – 1, и снова умножаем на: 0.34*2=0.68 и 0.68*2=1.36;

© снова отбрасываем целое и получаем 0.36*2=0.72 и т.д.;

© умножение продолжается до тех пор, пока не получится целое число, т.е. пока после запятой в результате умножения будет 0. Как правило, достаточная точность – 3 или 4 знака после запятой;

© собираем результат (целое – снизу вверх, дробное -сверху вниз):

Результат приблизительный, т.к. выполнялось условие точности – 4 знака после запятой.

Для того,чтобы из 8-й СС перевести число в 2-ю СС, нужно каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов (лишние нули в старших разрядах отбрасываются):

1234.077₈=001 010 011 100.000 111 111₂=1 010 011 100.000 111 111₂

Обратный перевод производится также: каждая триада двоичных символов заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода число должно быть выровнено путем дописывания недостающих нулей перед старшим разрядом для целой части и после последнего разряда для дробной, т.е. число двоичных знаков должно быть кратно трем:

11.1001₂=011.100 100₂=3.44₈

Для перевода между 2-й СС и 16-й СС используются тетрады двоичных символов. При необходимости выполняется дополнение до длины двоичного символа кратной четырем.

1234.АВ77₁₆=0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂=

=1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂

При переходе из 8-й СС в 16-ю СС и обратно используется двоичный вспомогательный код:

1234.АВ77₁₆=0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂=

=001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100₂=11064.526734₈

120.34₈=001 010 000.011 100₂=0101 0000.0111 0000₂=50.7₁₆

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 59; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!