Контрольная работа № 10

Краткая теория и методические указания.

1. Случайные события

1.1 Вероятность события А – это число, характеризующее возможность наступления этого события при некоторых испытаниях (опытах).

1.2 Классическое определение вероятности. Вероятность события , где m – число благоприятных для этого события исходов опыта, n – общее число всех элементарных исходов .

1.3 События А и В называются несовместными, если в результате опыта появление одного события исключает появление другого.

1.4 События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

1.5 Суммойсобытий А + В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В (или А или В или обоих вместе).

1.6 Произведением (пересечением) событий называется событие D, которое состоит в том, что произошли одновременно оба события А и В (и А и В).

1.7 Событие называется противоположным событию А, если в результате опыта может произойти только одно из событий А или . .

1.8 Вероятность суммы событий А и В .

1.9 Для несовместных событий А и В: .

1.10 Теорема умножения вероятностей независимых событий .

1.11 Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

1.12 Теорема умножения вероятностей зависимых событий .

1.13 Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти с одной из гипотез . События – несовместные и . Тогда .

2. Случайные величины (СВ)

Случайной величиной Х называется величина, которая случайно принимает какое-то значение из совокупности своих значений.

Функция распределения . Функция распределения – неубывающая, непрерывная слева функция, определённая на всей числовой оси, при этом .

2.2.1 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале равна .

Дискретные случайные величины (ДСВ). Значениями их являются только отдельные числовые значения.

2.3.1 Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде ряда распределений

				…
				…

В первой строке таблицы указаны все значения . ДСВ Х, а во второй строке – вероятности принятия значения ; .

2.3.2 Функция распределения ДСВ Х выражается формулой . .

График представляет собой ступенчатую линию.

Непрерывные случайные величины (НСВ). НСВ принимает свои значения непрерывно на некотором интервале числовой оси.

2.4.1 Закон распределения НСВ задаётся функцией плотности распределения , .

2.4.2 Функция распределения НСВ вычисляется по формуле . График НСВ представляет собой непрерывную неубывающую кривую. .

2.4.3 Площадь под графиком равна 1, так как .

2.4.4 Вероятность того, что НСВ Х примет значения в интервале равна . При . Вероятность отдельного значения равна нулю.

3. Числовые характеристики случайных величин

3.1 Математическое ожидание – это среднее значение совокупности значений СВ.

Для ДСВ , для НСВ

3.2 Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относительно своего среднего значения . Пусть .

Для ДСВ: , для НСВ: .

3.3 Среднее квадратическое отклонение . – это абсолютное отклонение СВ от своего среднего значения.

4. Нормальное распределение

Оно самое распространенное распределение в природе, экономике и т.д. Обозначается , где и – параметры нормального распределения, .

4.1 Функция плотности вероятностей . определена на всей числовой оси, ; . Функция достигает при максимума, равного и имеет точки перегиба при и . При изменении значения график целиком перемещается вдоль оси х. При изменении значения график изменяется так: при увеличении значения в k раз максимальное значение уменьшается в k раз и график выполаживается.

4.2 Математическое ожидание , дисперсия .

4.3 Функция распределения .

4.4 Нормированное нормальное распределение . – функция Гаусса,

– функция Лапласа. . Составлены таблицы этих функций. Они используются для вычисления задач для . При этом , .

4.5 Вероятность того, что примет значения в интервале .