Неперервні функції. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій
Означення. Нехай функція f (x) визначена в деякому повному околі точки x0(тобто існує f (x0)). Функція f (x) називається неперервною в точці x0, якщо вона має границю при x ® x0, і ця границя дорівнює значенню функції в точці x0: f (x) = f (x0).
Зауваження. З означення неперервності випливає: якщо відомо, що функція f (x) неперервна в точці x0, то її границя в цій точці обчислюється просто підстановкою замість x його граничного значення x0.
Означення. Функція f (x) називається неперервною на проміжку X, якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.
Графічно неперервність функції означає, що її графік є неперервною лінією.
1. Якщо функції f (x) і g (x) неперервні в точці x0, то їх сума f (x) + g (x), добуток f (x)× g (x) та частка (при умові, що g (x0) ¹ 0) є функціями, неперервними в точці x0.
Ця властивість є наслідком означення неперервності і властивості границь 4 а),б) та в).
2. Якщо функція и (x) неперервна в точці x0, а функція f (x) неперервна в точці и0 = и (x0), то складена функція f (и (x)) неперервна в точці x0.
Ця властивість також випливає з означення неперервності і властивості границь 4 г).
3. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [ a, b ], то вона обмежена на цьому відрізку.
Цей факт ілюструє рис. 4.4, на якому видно, що множиною значень функції, неперервної на відрізку [ a, b ], є також відрізок [ с, d ].
4. Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [ a, b ]. Тоді на цьому відрізку існує точка x1, в якій функція f (x) приймає своє найменше на відрізку [ a, b ] значення, і існує точка x2, в якій функція f (x) приймає своє найбільше на відрізку [ a, b ] значення.
у
На малюнку 4.4 видно, що найменшим і найбільшим значеннями функції f (x) на відрізку [ a, b ] є відповідно числа с і d. Але число с є значенням функції f (x) в деякій точці x1: f (x1) = с, а число d є значенням функції f (x) в деякій точці x2: f (x2) = d, які належать відрізку [ a, b ].
y = f (x)
x
b = x1
a
x*
x1
c
O
p
d
Рис. 4. 4
5. Функція, неперервна на відрізку, приймає на цьому відрізку всі проміжні значення поміж своїм найменшим і своїм найбільшим значен-нями. Іншими словами для будь-якого числа p, що задовольняє нерівність f (x) < p < f (x), існує принаймні одна точка x* Î [ a, b ] така, що f (x*) = p.
Повернемось до рис. 4.4. Візьмемо довільне число р так, щоб здійснювалась нерівність с < p < d і проведемо пряму у = p. Графік функції – суцільна лінія, розташована між прямими у = с і у = d, тому пряма у = p, що теж лежить між цими прямими, неодмінно перетне графік функції f (x) хоча б в одній точці. Абсциса точки перетину і є x*, бо в цій точці у = f (x*) = р. На рис. 4.4 таких точок навіть дві.
Наслідок. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [ a, b ] і на його кінцях приймає значення протилежних знаків, то в інтервалі (a, b) є принаймні одна точка x*, в якій f (x*) = 0.
Можна показати, що всі основні елементарні функції (див. п. 4.4) неперервні в своїй області визначення. Тоді з властивостей 1 і 2 неперервних функцій та з означення елементарних функцій (див. п. 4.4) випливає
Теорема (про неперервність елементарних функцій). Усяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.
studopediasu.com - Студопедия (2013 - 2026) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
f (x) = f (x 0).
(при умові, що g (x 0) ¹ 0) є функціями, неперервними в точці x 0.
5. Функція, неперервна на відрізку, приймає на цьому відрізку всі проміжні значення поміж своїм найменшим і своїм найбільшим значен-нями. Іншими словами для будь-якого числа p, що задовольняє нерівність 
f (x) < p < 
f (x), існує принаймні одна точка x * Î [ a, b ] така, що f (x *) = p.