Техніко-економічні показники компонен бензину

Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо через х_j кількість j -го компонента в суміші (т), j = 1,2,3,4.

Перше обмеження забезпечує потрібне значення октанового числа в суміші:

.

Вміст сірки в суміші має не перевищувати 0,3 %:

,

а загальна маса утвореної суміші має дорівнювати 1000 т:

.

Використання кожного компонента має не перевищувати його наявного обсягу:

Собівартість суміші визначається за формулою:

.

Загалом, економіко-математична модель задачі має вигляд:

за умов:

.

Приклад 2.4. Фермерське господарство спеціалізується на вирощуванні зернових культур і має три ділянки землі площею S ₁ = 40 га, S ₂ = 90 га, S ₃ = 55 га. Враховуючи наявну кількість посівного матеріалу, є можливість засіяти всю площу озимими зерновими трьох культур –пшеницею, житом і ячменем. Кількість посівного матеріалу пшениці забезпечить посів на 80 га, жита — 60 га та ячменю — 45 га. Урожайність пшениці на даних ділянках становить відповідно 41 ц/га, 40 ц/га, 46 ц/га. Аналогічно для жита маємо: 38 ц/га, 41 ц/га, 45 ц/га, а для ячменю— 30 ц/га, 28 ц/га, 40 ц/га.

Необхідно розподілити посівний матеріал за земельними ділянками так, щоб отримати максимальний валовий збір зернових культур.

Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо через х_ij площу (га) і -ої земельної ділянки, що буде засіяна j -ю зерновою культурою, (і = 1, 2, 3), (j = 1, 2, 3).

Тоді використання земельних угідь описуватиме така система обмежень:

;

;

.

Використання посівного матеріалу формально можна описати так:

;

;

.

Валовий збір зерна розраховується як сума добутків урожайностей відповідних зернових культур на їх посівні площі, тобто:

Отже, економіко-математична модель задачі загалом буде мати вигляд:

за умов:

.

Задача визначення оптимального плану перевезень вантажів (транспортна задача)

Розглянемо m пунктів виробництва та n пунктів споживання деякої однорідної продукції. Відомі обсяги виробництва продукції у кожному i- му пункті — та потреби кожного j -го пункту споживання –– . Також задана матриця розмірністю , елементи якої є вартостями транспортування одиниці продукції з i- го пункту виробництва до j- го пункту споживання. Необхідно визначити оптимальні обсяги перевезень продукції з урахуванням наявності продукції у виробників та забезпечення вимог споживачів.

Критерій оптимальності: мінімальна сумарна вартість перевезень.

Позначимо через х_ij обсяг продукції, що перевозиться від i- говиробника до j- госпоживача.

Можна вивезти від кожного виробника продукцію, що є в наявності. Тому для кожного і має виконуватись умова: . Забезпечення кожного споживача потрібною кількістю продукції дає умова: для кожного . Загальна вартість перевезень є сумою добутків . Необхідно, щоб виконувалась умова . Отже, економіко-математична модель транспортної задачі має такий вигляд:

(2.4)

Як і в попередніх задачах математична модель транспортної задачі може використовуватись і тоді, коли в постановці задачі немає навіть згадки про перевезення продукції. Наприклад, задача раціонального розподілу робітників або механізмів за окремими видами робіт, посадами або операціями. Як відомо, один і той же робітник може виконувати різні функції з різною ефективністю, залежно від досвіду роботи, кваліфікації, індивідуальних особливостей. Тому виникає задача про призначення, що передбачає такий розподіл робітників, при якому загальна продуктивність праці в колективі була б максимальною.

Задача про призначення: нехай маємо деяке комерційне підприємство на якому працюють т робітників: A ₁, A ₂,… A_т, кожен з яких повинен виконувати одну B_j із існуючих n видів робіт: B ₁, B₂,..., B_п. Для кожного робітника на робочому місці відома продуктивність праці c_ij . Необхідно визначити такий розподіл робітників за видами робіт, щоб досягти максимальної сумарної продуктивності праці, за умови, що кожен робітник може виконувати тільки одну роботу.

Побудова економіко-математичної моделі

Позначимо призначення і –го робітника на j – роботу. Так як кількість робітників дорівнює кількості робіт, тобто п = т, то може приймати лише одне з двох значень: 1, якщо робітник призначений на викононня j –ї роботи; 0 - не призначений на j –ту роботу. Такі змінні задачі називають бульовими і модель що містить такі змінні відноситься до задач цілочисленого лінійного програмування. При призначенні і –го робітника на j –ту роботу продуктивність праці буде , тобто необхідно знайти матрицю Х - розподілу робітників за видами робіт, що забезпечить максимальну сумарну продуктивність праці, що в даному випадку є знаходження екстремуму лінійної функції F (X):

що обмежена умовою:

(2.5)

Очевидно, що помноживши лінійну функцію F (X) на (-1), приведемо задачу до транспортної, в якій об’єм запасу кожного постачальника і об’єм споживання кожного споживача рівні одиниці.

Ще одним прикладом транспортної задачі є задача про побудову кільцевих маршрутів, або так звана задача комівояжера.

Задача комівояжера: припустимо, що менеджер деякого комерційного підприємства, в силу своїх професійних обов’язків, повинен відвідати п міст (пунктів призначення), виїзджаючи із деякого міста і відвідуючи кожне місто лише один раз і повернутися в пункт виїзду. Відстань між парами пунктів призначення відома і становить a_ij . Якщо прямого маршруту між містами не існує, то вважають що a_ij = ∞. Необхідно визначити таку послідовність відвідування міст, при якій довжина маршруту була б найменшою.

Побудова економіко-математичної моделі. Економіко-математична постановка даної задачі може бути представлена як задача цілочисленого лінійного програмування з бульовими змінними: = 1, якщо комівояжер переїзджає із пункту і в пункт j, в протилежному випадку = 0 .

Задача полягає у визначенні матриці значень цілих не від’ємних значень змінних , що мінімізують цільову функцію, що містить довжину маршруту:

за обмежень:

(2.6)

Обмеження задачі містять наступні вимоги щодо моделі:

1) маршрут повинен включати лише один в’їзд у кожен пункт призначення;

2) маршрут повинен включати лише один виїзд із кожного пункту призначення;

3) маршрут повинен проходити через усі п міст і бути кільцевим.

Наведені математичні моделі економічних задач є дуже спрощеними. Адекватні економіко-математичні моделі будуть значно складнішими, в силу численності факторів впливу на досліджуване явище або процес.

2.2. Багатокритеріальна оптимізація.

У класичній постановці задачі лінійного програмування передбачається єдина цільова функція, що кількісно визначена. У реальних економічних задачах на роль критерію ефективності претендують кілька десятків показників. Наприклад, максимум чистого доходу від реалізації виробленої продукції чи максимум рівня рентабельності, мінімум собівартості виробленої продукції або мінімум витрат дефіцитних ресурсів. Крім того, бажаним є застосування кількох критеріїв одночасно, причому вони можуть бути взагалі несумісними. Наприклад, вимога досягти максимальної ефективності виробництва за мінімальних витрат ресурсів з погляду постановки математичної задачі є некоректною. Мінімальні витрати ресурсів — це нульові витрати, що мають місце за повної відсутності будь-якого процесу виробництва. Аналогічно максимальна ефективність може бути досягнута лише у разі використання певних обсягів (звичайно не нульових) ресурсів. Тому коректними є постановки задач такого типу: досягти максимальної ефективності при заданих витратах чи досягти заданого ефекту за мінімальних витрат.

Оскільки не існує єдиного універсального критерію економічної ефективності, то досить часто вдаються до розгляду багатокритеріальної оптимізації. Хоча задача лінійного програмування передбачає одну цільову функцію, розроблено математичні методи, що дають змогу будувати компромісні плани, тобто здійснювати багатокритеріальну оптимізацію.

Найчастіше способи використання багатьох критеріїв у задачах млінійного програмування зводяться до штучного об’єднання кількох вибраних показників в один. Наведемо кілька таких способів.

Нехай у задачі обрано m критеріїв оптимальності F_i . Загальний критерій може мати вигляд суми окремих показників ефективності з відповідними коефіцієнтами:

, (2.7)

де — додатні чи від’ємні коефіцієнти. Додатні коефіцієнти відповідають тим критеріям, які потрібно максимізувати, а від’ємні — тим, які мінімізуються. Абсолютні значення коефіцієнтів відповідають пріоритету (важливості) того чи іншого показника.

Наприклад, якщо розв’язується виробнича задача, то з додатними коефіцієнтами ввійдуть такі величини, як обсяг прибутку, отриманого від реалізації товарів та послуг, з від’ємними — витрати ресурсів (часу, праці), собівартість одиниці продукції.

Узагальнений критерій може подаватись у вигляді дробу, де в чисельнику знаходиться добуток показників, які необхідно максимізувати, припустимо , а в знаменнику — добуток тих, які потрібно мінімізувати :

(2.8)

Загальним недоліком критеріїв (2.7), (2.8) є їх недостатня економічна адекватність, що обумовлена можливістю компенсації низької ефективності одного критерію за рахунок зміни (зменшення) ефективності іншого критерію, що в принципі нівелює економічну доцільність розрахунків. Наприклад, зниження значення виконання попередніх замовлень може компенсуватися зменшенням використання ресурсів. Оскільки окремі величини в чисельнику та знаменнику пропорційно зменшилися, то значення дробу не змінюється, проте складені на основі таких розрахунків плани можуть призвести до негативних наслідків.

Отже, до використання зазначених способів формування цільових функцій необхідно підходити зважено та продумано.

Ще один метод запропонував І. Никовський. Оптимальний план знаходять окремо за кожним з вибраних критеріїв, після чого отримують множину значень цільової функції . На останньому етапі розв’язується початкова задача з одним критерієм виду:

, (2.9)

де — значення i-го критерію оптимальності в оптимальному компромісному плані. За такого підходу розв’язок задачі визначається за критерієм, що дорівнює мінімальному значенню модулів часток відхилень значень кожної цільової функції у компромісному плані від їх оптимальних значень у їх же оптимальних значеннях, що робить всі критерії однаково важливими. Для врахування переваг одних критеріїв над іншими доцільно застосовувати узагальнений критерій такого виду:

. (2.10)

Недоліками цих двох способів є, по-перше, жорстке співвідношення між значеннями відхилень критеріїв оптимальності, що значно звужує множину допустимих планів; по-друге, одному значенню деякого критерію може відповідати множина інших, причому таких, за яких оптимальний план з економічного погляду ефективніший; по-третє, відсутня методика об’єктивного визначення коефіцієнтів .

Зведення багатокритеріальної задачі до задачі з одним критерієм може також здійснюватися через виділення з вибраного набору показників одного, який вважають найважливішим — F_k і намагаються досягти його максимального значення (якщо необхідно знайти мінімум, то досить змінити знак показника). Всі інші показники (критерії) є другорядними, і на них накладаються обмеження виду: , де є нижньою межею значення відповідного показника, або , якщо необхідно, щоб значення показника не перевищувало . Для виробничих задач найвживанішим показником ефективності є прибуток і, максимізуючи його величину, додатково вводяться обмеження щодо рентабельності виробництва – рентабельність не нижче заданого рівня, або собівартості – собівартість не вище певного рівня. Такі обмеження доцільно включати до системи початкових умов задачі.

Очевидно, що багатокритеріальні задачі лінійного програмування не мають універсального способу розв’язування. Отже, вибір та коректне застосування будь-якого з наведених способів залишається за суб’єктом прийняття рішень.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 60; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!