Понятие формулы логики предикатов

Решение

Пример 9.2

Пример 9.1

Пусть на множестве натуральных чисел задан предикат : «Число кратно 5». Привести способы его использования.

Решение. Используя кванторы, из данного предиката можно получить высказывание – «Все натуральные числа кратны 5» или высказывание – «Существует натуральное число, кратное 5». Ясно, что первое высказывание ложно, а второе истинно.

Высказывание истинно только в единственном случае, когда – тождественно истинный предикат, а высказывание ложно только в том единственном случае, когда – тождественно ложный предикат.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть задан многоместный предикат на множестве . Применение кванторной операции к предикату по переменной ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат или , зависящий от переменной и не зависящий от переменной . К ним уже можно применять кванторные операции по переменной , которые приведут к высказываниям следующих видов:

, , , .

К двухместному предикату можно применить кванторные операции по обеим переменным. Рассмотрим предикат : «», где и натуральные числа. Тогда получим восемь высказываний:

1. – «Для всякого и для всякого является делителем ».

2. – «Существует , которое для всякого является делимым».

3. – «Для всякого существует , которое является делителем ».

4. – «Существует и существует такие, что является делителем ».

5. – «Для всякого и для всякого является делителем ».

6. – «Для всякого существует , которое является делимым для ».

7. – «Существует и существует , такие, что является делителем ».

8. – «Существует , которое для всякого является делителем».

Из анализа высказываний видно, что 1, 2, 5 и 8 высказывания ложны, а высказывания 3, 4, 6 и 7 истинны.

Так, например, высказывание 1 является ложным, поскольку не может всякое делиться на всякое без остатка. А высказывание 3 является истинным, поскольку, действительно, для любого можно, по крайне мере, найти число , на которое любое число делится без остатка. Аналогичные рассуждения можно привести и для других оставшихся высказываний.

Из рассмотренных примеров видно, что изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, и следовательно, его логическое значение (например, высказывание 2: ложно, а высказывание 6: истинно).

Установить истинность или ложность высказывания , состоящего из двух предикатов и , то есть .

Сначала находим корни квадратного уравнения, для того, чтобы определить множество истинности предиката то есть множество всех элементов , при которых предикат принимает значение истина. В данном случае это означает, что необходимо найти те значения , при которых выполняется квадратное уравнение.

, , , .

Преобразуем исходное высказывание

Для первого предиката справедливо равенство , для второго , то есть оба высказывания истинны. Тогда в соответствии с определением импликации двух предикатов следует, что исходное высказывание является также истинным. Таким образом, существуют такие , при которых данное высказывание является истинным.

В логике предикатов используется следующая символика.

1. Символы – переменные высказывания, принимающие два значения: 1 – истина, 0 – ложь.

2. Предметные переменные – , которые принимают значения из некоторого множества ;

Предметные константы – – значения предметных переменных.

3. Одноместные предикатные переменные – ;

-местные предикатные переменные – ;

Символы постоянных предикатов – .

4. Символы логических операции: , , , , .

5. Символы кванторных операций: , .

6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 64; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!