Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения 5 страница

Из рассмотрения рис. 212 и рис. 213 отчетливо видно, что при вращении

точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций,

одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к

проекции оси вращения.

На рис. 214 показан поворот точки A против движения часовой стрелки на

угол вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно к пл. 2. Из

точки О", как из центра, проведена дуга радиуса О"А", соответствующая углу

и направлению вращения. Новое положение фронтальной проекции точки А --

точка

.

2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.

Отрезок АВ (рис. 215) повернут в положение

. Очевидно, дело свелось к повороту точек А и В на заданный угол по

заданному направлению. Пути перемещения фронтальных проекций этих точек

указаны прямыми, проведенными через А" и В" перпендикулярно к фронтальной

проекции оси вращения

Новое положение горизонтальной проекции точки А (точка

) получено при повороте радиуса О'А' на заданный угол. Для нахождения

точки В' (положение горизонтальной проекции точки В после поворота)

проведена дуга радиусом О'В"

Рис. 215 Рис. 216

и в этой дуге отложена хорда В¹

, равная хорде 1--2; это соответствует повороту точки В на тот же

угол_.

Далее, из точек

' и

' проведены линии связи до пересечения направлениями перемещения

фронтальных проекций; получены проекции

" и

".

Отрезки прямых между точками

" и

" и между точками А' и В' определяют новые положения фронтальной и

горизонтальной проекций отрезка АВ после его поворота в положение А В.___·

Так как в треугольниках ' ' и А' В'О' (рис. 215) стороны_В'О' и А'О'

треугольника А'В'О'.равны (как радиусы) соответственно сторонам ' и

А'О' треугольника А' В'О' и углы, заключенные между указанными_сторонами,

также равны, то эти треугольники равны между собой. Значит, А'В¹=

А' В', т. е. величина горизонтальной проекции отрезка, повернутого вокруг

оси, перпендикулярной к пл. 1(не изменяется. Очевидно, такое же заключение

справедливо в отношении фронтальной проекции отрезка при его повороте вокруг

оси, перпендикулярной к пл. 2.

В равных между собой треугольниках А'В'О' и А' В'О' (рис._215) будут

равны и их высоты, проведенные, например, из точки О' на А'В' и А' В'.

Сделанные выводы позволяют установить следующий способ построения новых

проекций отрезка, вращаемого около оси на заданный угол (рис. 216). Через

точку О' проводим прямую, перпендикулярную к А'В¹; точку С'

(пересечение перпендику-

ляра с А'В') повертываем на заданный угол. Проведя через точку С"

(новое положение точки С') прямую, перпендикулярную к радиусу О' С',

получаем направление нового положения горизонтальной проекции отрезка.

Так_как отрезки С' А' и С' В¹ не_изменяют своей величины, то,

откладывая от точки С' отрезки С' А' = С' А' и С' В' = С'В', находим

новое положение А'В'_проекции всего отрезка. Нахождение нового положения

фронтальной проекции А"В" остается прежним.

Указанным способом можно не только повернуть отрезок на заданный угол,

но и определить угол, на который надо повернуть заданный отрезок, чтобы

придать ему некоторое требуемое положение (например, расположить параллельно

плоскости 2).

3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту

принадлежащих ей точек и прямых линий.

Пример дан на рис. 217: треугольник АВС, определяющий плоскость,

повернут в положение A B C согласно заданным углу и направлению,

указанному стрелкой. Построение подобно показанному на рис. 215: там были

повернуты две точки А и В, здесь же три точки -- вершины А, В и С, а

следовательно, и вся фигура. Треугольники А'В'С и А' В¹ С' равны

между собой по построению: при оси, перпендикулярной к пл. 1,

горизонтальная проекция величины своей не изменяет. Это

Рис. 217

соответствует тому, что угол наклона пл. ABC по отношению к пл. 1 не

изменяется,;если ось вращения перпендикулярна к пл. 1. Очевидно, при

повороте вокруг оси, перпендикулярной к пл. 2, не изменяется угол наклона

вращаемой плоскости к пл. 2 и сохраняется величина фронтальных проекций.

При вращении, плоскости, выраженной ее следами, обычно поворачивают

один из следов и горизонталь (или фронталь) плоскости. Пример дан на рис.

218; плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,

перпендикулярной к пл. 1. На следе h'0. взята точка, ближайшая к оси

вращения,-- точка А' (О' А' % h'0)подобно тому, как была на рис. 216 взята

точка С'. Затем точка А' повернута на угол. Через полученную точку А'

проведена прямая линия, перпендикулярная к О' А'; это горизонтальный след

плоскости в ее новом положении.

Для нахождения фронтального следа плоскости после ее поворота

достаточно найти, помимо найденной точки Х на оси х, еще одну точку,

принадлежащую следу. В пл. взята горизонталь N'F', N"F", пересекающая ось

вращения (N'F¹ проходит через горизонтальную проекцию оси

вращения). Конечно, можно взять горизонталь и не пересекающую ось вращения.

Так как горизонталь и при новом положении плоскости останется параллельной

ее горизонтальному следу, то надо провести через О' прямую, параллельную

h'0; получится новое положение гори-

зонтальной проекции горизонтали. Фронтальная ее проекция не изменит

своего направления, а поэтому легко найти новый фронтальный след горизонтали

-- точку N". Теперь можно построить фронтальный след (f"o).

Вращение вокруг выбранной осн. В ряде случаев ось вращения может быть

выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов

отрезка, то построение упростится, так как точка, через которую проходит

ось, будет "неподвижной" и для поворота отрезка надо построить новое

положение проекций только одной точки -- другого конца.

На рис. 219 показан случай, когда для поворота отрезка АВ выбрана ось

вращения, перпендикулярная к пл. 1 и проходящая через точку А. При

повороте вокруг такой оси можно, например, расположить отрезок параллельно

пл. 2.

Рис.. 219 Рис. 221

Именно такое положение показано на рис. 219. Горизонтальная проекция

отрезка в своем новом положении перпендикулярна к линии связи А'А". Найдя

точку В" и построив отрезок А" В^", получаем фронтальную проекцию

отрезка АВ в его новом положении. Проекция А" В" выражает длину отрезка АВ.

Угол А" В"В" равен углу между прямой АВ и пл. 1.

Если поставить перед собой цель -- определить угол наклона прямой

общего положения к пл. 2, то надо провести ось вращения перпендикулярно к

пл. 2 и повернуть прямую так, чтобы она стала параллельной пл..

Предоставляем читателю выполнить такое построение.

Если при повороте плоскости, выраженной следами, можно выбрать ось

вращения, то ее целесообразно расположить в плоскости проекций; построения в

этом случае упрощаются. Пример дан на рис. 220. Положим, что ось вращения

должна быть перпендикулярна к пл. 1. Если ее взять, в пл. 2, то на следе

f"o, оказывается "неподвижная" точка О (в пересечении с осью вращения).

После поворота плоскости фронтальный след должен пройти через эту точку.

Следовательно, найдя положение горизонтального следа (h'0) после поворота,

надо провести след f"o через точку Х и через точку О". По сравнению с рис.

218 упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в

случае "ухода" точки Х" за пределы чертежа; но в аналогичном случае на рис.

218 пришлось бы взять две вспомогательные линии.

На рис. 221 плоскость общего положения повернута в положение

горизонтально-проецирующей; при этом определился угол наклона пл. к пл.

2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.

поставить в положение фронтально-проецирующей, определив при этом угол

наклона плоскости к пл. 1.

Сравнивая между собой плоскости до и после поворота, замечаем, что

угол, образуемый следами f"o и h'0 на чертеже, вообще изменяется.

Если представить себе круговой конус с вершиной в точке О и с

основанием на рис. 220 в пл. 1ь а на рис. 221 в пл. 2 и.касательную к

конусу пл., то поворот пл. вокруг оси вращения, совпадающей с осью

конуса, представляет собой как бы "обкатку" конуса касательной к нему

плоскостью.

ВОПРОСЫ К § 34-35

1. В чем заключается способ вращения?

2. Что такое плоскость вращения точки и как она располагается по

отношению к оси вращения?

3. Что такое центр вращения точки при повороте ее вокруг некоторой оси?

4. Что такое радиус вращения точки?

Последующие вопросы относятся к вращению вокруг оси, перпевдикулярной к

плоскости проекций.

5. Как перемещаются проекции точки?

6. Какая из проекций отрезка прямой линии не изменяет своей величины?

7. Как осуществляется поворот плоскости: а) не выраженной следами, 6)

выраженной следами?

8. В каком случае не изменяется при вращении наклон прямой линии по

отношению: а) к пл. ", б) к пл. -?

9. Такой же вопрос относительно плоскости 3.

10. Можно ли путем поворота определить длину отрезка прямой линии и

угол ее наклона к пл., и...?

11. Можно ли путем поворота плоскости определить угол ее наклона к пл.

а, и к пл. я-?

Какое выгодное положение можно придать оси вращения при повороте: 1)

отрезка прямой, 2) плоскости, выраженной следами?

§ 36. ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА ВРАЩЕНИЯ БЕЗ УКАЗАНИЯ НА ЧЕРТЕЖЕ ОСЕЙ

ВРАЩЕНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ, ИЛИ,

Раньше (см. § 35) мы видели, что если вращать отрезок прямой линии или

плоскую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то

проекция на эту плоскость не изменяется ни по виду, ни по величине --

меняется лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Что же

касается другой проекции -- на плоскости, параллельной оси вращения, то все

точки этой проекции (за исключением, конечно, проекций точек, расположенных

на оси вращения) перемещаются по прямым, параллельным оси проекций, и

проекция вообще изменяется по форме и по величине. Пользуясь этими

свойствами, можно применить способ вращения, не задаваясь изображением оси

вращения и не устанавливая величины радиуса вращения; достаточно лишь, не

изменяя вида и величины одной из проекций рассматриваемой фигуры,

переместить эту проекцию в требуемое положение, а затем построить другую

проекцию так, как.указано выше.

Например, задавшись целью повернуть отрезок АВ прямой общего положения

(рис. 222) так, чтобы он оказался перпендикулярным к пл., начинаем с

поворота вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 до положения, параллельного

пл. 2, но эту ось на чертеже не указываем. Так как при таком повороте

горизонтальная проекция отрезка не изменяет своей величины, то проекцию

А' В' берем равной А'В' и располагаем параллельно оси х, что соответствует

параллельности самого отрезка пл. 2.

Найдя соответствующую фронтальную проекцию отрезка (А" В") выполняем

второй поворот, теперь вокруг оси, перпендикулярной к пл. 2, до искомого

положения -- перпендикулярности АВ к пл,. И эту ось на чертеже не

изображаем. Располагаем проекцию А"В", равную А"В", перпендикулярно к оси х.

Горизонтальная проекция отрезка выражается точкой с двойным обозначением --

А' В'.

Итак, выполненные операции соответствуют поворотам вокруг осей,

перпендикулярных к плоскостям проекций, но оси эти не указаны. Конечно, их

можно найти.

Например, если провести прямые -- одну через точки А' и А', другую

через В' и В', затем провести перпендикуляры в серединах отрезков А'А' и

В'В', то полученная точка пересечения этих перпендикуляров и будет

горизонтальной проекцией оси вращения, перпендикулярной к пл.,. Но, как

видно, необходимости в этом нет.

На рис. 223 показаны две стадии поворота ABC, расположенного в

плоскости общего положения, с целью получения натурального вида этого

треугольника. Действительно, он в последнем своем положении параллелен пл.

1 и, следовательно, проекция представляет собой натуральный вид треугольника. Но чтобы получить

такое положение, надо предварительно повернуть плоскость общего

Рис. 222 Рис. 223

положения, в которой расположен треугольник, так, чтобы эта плоскость

оказалась перпендикулярной к пл. 2. А для этого надо взять горизонталь в

ABC и повернуть ее до перпендикулярности к пл. 2; тогда и треугольник,

содержащий эту горизонталь, окажется перпендикулярным к пл. 2. Так как

построение производится без указания осей вращения, то проекцию

'

'

^' располагаем произвольно, но так, чтобы горизонталь

оказалась перпендикулярной к пл..п2; для этого проекцию горизонтали

'

' направляем параллельно хотя бы линии связи А"А' (чертеж выполнен без

оси проекций). При этом повороте подразумевается ось вращения,

перпендикулярная к пл.; поэтому горизонтальная проекция треугольника

сохраняет свой вид и величину (

'

'

'= А'В'С'), изменяется лишь ее положение. Так, точки А, В и С при таком

повороте перемещаются в плоскостях, параллельных пл. 1; проекции

",

" и

" находятся на горизонтальных линиях связи А"

", В"

" и С"

".

При втором повороте, приводящем треугольник в параллельное пл. 1

положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к пл. 2. Теперь

фронтальная проекция при_повороте сохраняет вид и величину, полученные во

второй стадии поворота, точки

,

и

перемещаются в плоскостях, параллельных пл. 2, проекции

',

' и

'_находятся на горизонтальных линиях связи с точками

',

',

'.

Проекция

'

'

' передает натуральный вид и натуральную величину треугольника ABC.

При таком способе, во-первых, несколько упрощаются построения и,

во-вторых, не происходит наложения проекций одной на другую, однако чертеж

занимает большую площадь¹).

Еще один пример вращения без изображения осей дан на рис. 224 и 225. На

этих рисунках показаны последовательный поворот куба и выведение его в

положение, когда диагональ АВ расположится перпендикулярно к пл. 2.

') Для рассмотренного случая вращения, а именно без изображения осей

вращения, встречается название "способ плоскопараллельного перемещения".

Рис. 224 Рис. 225

Сначала вращением вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1,, куб

поставлен так, что диагональ AB оказалась в профильной плоскости (рис. 224).

Из этого положения куб переведен в третье, при котором диагональ АВ

оказывается перпендикулярной пл. 2 (рис. 225). Это достигнуто поворотом

куба вокруг оси, перпендикулярной к пл. з ¹)·

§ 37. ВРАЩЕНИЕ ТОЧКИ, ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ ВОКРУГ ОСИ,

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 52; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!