Точка в системе двух плоскостей проекций

МЕТОД МОНЖА

Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских

изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних

времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись

преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники

первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего

точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить

место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и

путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно

накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были

приведены в систему и развиты в труде французского ученого, изданном в 1799 г. под названием "Geometric' descriptive".

Гаспар Монж (1746--1818) вошел в историю как крупный французский

геометр конца XVIII и начала XIX вв., инженер, общественный и

государственный деятель в период революции 1789--1794 гг. и правления

Наполеона I, один из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже,

участник работы по введению метрической системы мер и весов. Будучи одним из

министров в революционном правительстве Франции, Монж много сделал для ее

защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Монж не

сразу получил возможность опубликовать свой труд с изложением разработанного

им метода. Учитывая большое практическое значение этого метода для

выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа

стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатание

книги. Лишь в конце XVIII столетия это запрещение было снято. После

реставрации Бурбонов Гаспар Монж подвергся гонению, вынужден был скрываться

и кончил свою жизнь в нищете. Изложенный Мон-жем метод -- метод

параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две

взаимно перпендикулярные плоскости проекций) -- обеспечивая выразительность,

точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и

остается основным методом составления технических чертежей.

Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным

из слов древнегреческого языка, обозначающих "прямой" и "угол". В дальнейшем

изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения

системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях.

В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции.

В случае применения параллельных косоугольных проекций это будет каждый раз

оговариваться.

Начертательная геометрия (н. г.) стала предметом преподавания в нашей

стране с 1810 г., когда в только что основанном Институте корпуса инженеров

путей сообщения начались занятия наряду с другими дисциплинами учебного

плана и по начертательной геометрии. Это было вызвано все возрастающим ее

практическим значением.

В Институте корпуса инженеров путей сообщения¹) протекала

преподавательская деятельность окончившего этот институт в 1814 г. Якова

Александровича Севастьянова (1796--1849), с именем которого связано

появление в России первых сочинений по н. г., сначала переводных с

французского языка, а затем первого оригинального труда под названием

"Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвященного

изложению метода ортогональных проекций.

¹) Теперь Петербургский государственный университет путей

сообщения.

Лекции Я. А. Севастьянов читал на русском языке, хотя преподавание в те

годы вообще велось на французском языке. Тем самым Я. А. Севастьянов положил

начало преподаванию и установлению терминологии в н. г. на родном языке. Еще

при жизни Я. А. Севастьянова н. г. вошла в учебные планы ряда гражданских и

военных учебных заведений.

Крупный след в развитии н. г. в XIX столетии в России оставили Николай

Иванович Макаров (1824--1904), преподававший этот предмет в Петербургском

технологическом институте, и Валериан Иванович Курдюмов (1853--1904),

который, будучи профессором Петербургского института инженеров путей

сообщения по кафедре строительного искусства, читал в этом институте курс н.

г. В своей практике преподавания В. И. Курдюмов приводит многочисленные

примеры применения н. г. к решению инженерных задач.

Деятельностью и трудами В. И. Курдюмова как бы завершился почти

столетний период развития н. г. и ее преподавания в России. В этот период

наибольшее внимание было уделено организации пртподавания, созданию трудов,

предназначенных служить учебниками, разработке улучшенных приемов и способов

решения ряда задач. Это были существенные и необходимые моменты в развитии

преподавания н. г.; однако ее научное развитие отставало от достижений в

области методики изложения предмета. Лишь в трудах В. И. Курдюмова теория

получила более яркое отражение. Между тем в некоторых зарубежных странах в

XIX столетии н. г. уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для

ликвидации отставания и для дальнейшего развития научного содержания н. г.

необходимо было расширить ее теоретическую основу и обратиться

исследовательской работе.

Это можно видеть в трудах и деятельности Евграфа Степановича Федорова

(1853 -- 1919), знаменитого русского ученого, геометра-кристаллографа, и

Николая Алексеевича Рынина (1877--1942), которые, уже в последние годы перед

Великой Октябрьской социалистической революцией обратились к развитию

начертательной геометрии как науки. К настоящему времени начертательная

геометрия как наука получила значительное развитие в трудах советских ученых

Н.А.Глаголева (1888--1945), А. И. Д обряк ова (1895-1947), Д. Д. Морду

аи-Бо л товск ого (1876-1952), М. Я. Громова (1884-1963), С. М. Колотова

(1885-1965), Н. Ф. Четверухина (1891-1974), И. И. Котова (1909-1976) и

многих других¹).

ГЛАВА II ТОЧКА И ПРЯМАЯ

Выше (§ 2) было сказано, что проекция точки не определяет положения

точки в пространстве, и чтобы, имея проекцию точки, установить это

положение, требуются дополнительные условия. Например, дана прямоугольная

проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указано удаление этой

точки от плоскости числовой отметкой; плоскость проекций принимается за

"плоскость нулевого уровня", и числовая отметка считается положительной,

если точка в пространстве выше плоскости нулевого уровня, и отрицательной,

если точка ниже этой плоскости.

На этом основан метод проекций с числовыми отметками 1).

В дальнейшем изложении определение положения точек в пространстве будет

производиться по их прямоугольным проекциям на двух и более плоскостях

проекций.

На рис. 9 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их

за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой 1, расположена

горизонтально; другая, обозначенная буквой 2,-- вертикально. Эту плоскость

называют фронтальной плоскостью проекций, пл. 1 называют горизонтальной

плоскостью проекций. Плоскости проекций 1 и 2 образуют систему 1, 2.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось

проекций разделяет каждую из плоскостей 1 и 2 на полуплоскости. Для этой

оси будем применять обозначение или обозначение в виде дроби 2\1. Из четырех двугранных углов, образованных плоскостями проекций, считается первым тот, грани которого на рис. 9 имеют обозначения 1 и 2.

На рис. 10 показано построение проекций некоторой точки А в системе 1, 2. Проведя из А перпендикуляры к 1 и 2, получаем проекции точки А: горизонтальную, обозначенную А', и фронтальную, обозначенную А".

Проецирующие прямые, соответственно перпендикулярные к 1 и 2,

определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям и к оси проекций. Эта

плоскость в пересечении с 1 и 2 образует две взаимно перпендикулярные

прямые А'АХ и А"АХ, пересекающиеся в точке Ах на оси проекций.

Следовательно, проекции неко-

рис.9 рис.10

¹) Метод проекций с числовыми отметками в программу

излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по

начфтательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей.

торой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси

проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.

Если даны проекции А' и А" некоторой точки А (рис. 11), то, проведя

перпендикуляры -- через А' к пл. 1 и через А" к пл. 2 -- получим в

пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции

точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной

системы плоскостей проекций.

Рис. 11 Рис. 12

Повернув пл. вокруг оси проекций на угол 90° (как это показано на

рис. 12), получим одну плоскость -- плоскость чертежа; проекции А" и А'

расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций (рис. 13) -- на линии

связи. В результате указанного совмещения плоскостей 1 и 2 получается

чертеж, известный под названием эпюр¹) (эпюр Монжа). Это чертеж в

системе 1, 2 (или в системе двух прямоугольных проекций).

Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения

плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает

точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте

построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется

работа воображения: например, по рис. 13 надо представить картину,

изображенную на рис. 10.

Так как при наличии оси проекций положение точки А относительно

плоскостей проекций 1и 2 установлено, то отрезок А'АХ выражает расстояние

точки А от плоскости проекций 2, а отрезок А "Ах -- расстояние точки А от

плоскости проекций 1. Так же можно определить расстояние точки А от оси

проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам

А'АХ и А"А* (рис. 14): откладывая на эпюре отрезок А"А, равный А'АХ,

перпендикулярно к А"АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое

расстояние.

Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между

проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции,

получается возможность установить положение определяемой ими точки.

Рис. 14

Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в

основе которых лежит метод Монжа (см. § 3), называть одним словом -- чертеж:

и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова

"чертеж" оно будет сопровождаться соответствующим определением

(перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.).

¹) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"

пишут и произносят "эпюра", что соответствует не произношению слова epure, а

женскому роду этого слова во французском языке.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 72; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!