Развертки многогранников

Разверткой называется плоская фигура, которая получится, если боковую поверхность многогранника и его основание разложить на плоскость. Для этого боковая поверхность разрезается по одному боковому ребру, а основание отрезается по всем ребрам за исключением одного.

Грани многогранника – плоские фигуры, которые на развертке граничат по ребрам. Те ребра, по которым производилось разрезание, на развертке повторяются дважды. Отдельные грани на развертке соприкасаются по прямым.

Вопрос разверток очень важен в практике, так как ставиться целью наиболее экономичную развертку листового материала для изготовления деталей. При этом отходы разметки (обрезки) должны получаться наименьшими. На рис. 83 приведена развертка прямого параллелепипеда (спичечного коробка).

Рис. 83

Построим развертку пирамиды, приведенной на рис. 82, и нанесем на нее линию сечения 1 2 4 3. Все грани пирамиды на развертке присутствуют в натуральную величину. Натуральные величины треугольников граней строят по натуральным величинам трех сторон. Заметим, что ребра основания пирамиды на горизонтальной проекции в натуральную величину, так как являются горизонтальными прямыми. А боковые ребра пирамиды – прямые общего положения. Удобно найти их натуральную величину вращением вокруг высоты пирамиды i до положения фронтальных прямых. Тогда фронтальные проекции поле поворота S₂A₂', S₂C₂', S₂B₂′ (рис. 84) определяют их натуральную величину. На ребрах SA и SB лежат вершины 1 и 2 фигуры сечения. Найдем их положения на соответствующих натуральных величинах ребер S₂B₂´ и S₂A₂'.

Для построения развертки представим себе, что мы разрезали боковую поверхность пирамиды по ребру SC. Выберем произвольное направление, на котором отложим SC, равный натуральной величине SC (рис. 84). На отрезке SC, как на стороне, построим ΔSCА, равный натуральной величине ΔSCА, пирамиды. (Построение производится циркулем: радиусом S₂A₂´ из точки S делаем засечку – дугу, а затем радиусом A₁C₁ из точки С вторую засечку. Их пересечение определит вершину А).

Развертки поверхностей

Развертыванием поверхности называется изгибание ее до совмещения с плоскостью без складок и разрывов. Плоская фигура, которая при этом получается, называется разверткой поверхности. Не все поверхности можно развернуть на плоскость. Поэтому их делят на развертывающиеся и неразвертывающиеся.

Поверхность называется развертывающейся, если она имеет плоскость, касающуюся вдоль прямой линии (образующей) этой поверхности. Развертывание поверхности осуществляется на эту плоскость.

Все остальные поверхности называются неразвертывающимися. При необходимости для них строят условные развертки, т. е. развертки тех развертывающихся поверхностей, которыми заменяют заданную неразвертывающуюся.

К развертывающимся относятся, например, конические и цилиндрические поверхности, а к неразвертывающимся — сфера, тор.

Одним из важнейших свойств разверток является то, что на них сохраняются длины линий, расположенных на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, ограниченных заданными линиями (рис. 92).

Рис. 92

Рассмотрим несколько примеров построения разверток.

На рис. 93 и 94 приведены развертки прямого кругового конуса и такого же цилиндра.

В общем случае для конических и цилиндрических поверхностей строят приближенные развертки, пользуясь способами треугольников или нормального сечения. Для этого заменяют конические поверхности вписанными пирамидами, а цилиндрические – поверхностями вписанных призм.

Рис. 93

Рис. 94

Задача. Построить развертку эллиптического цилиндра, изображенного на рис. 86. Заменяем поверхность цилиндра вписанной в нее призматической восьмигранной поверхностью. Для этого в основание цилиндра вписываем правильный восьмиугольник, через вершины которого проводим боковые ребра призмы. Они совпадают с образующими цилиндра; проходящими через точки 1, 2,...8 сечения. Боковые ребра вписанной призмы параллельны между собой, а стороны нормального сечения к ним перпендикулярны. Так как грани призмы на развертке присутствуют в натуральную величину, значит и прямой угол между сторонами нормального сечения и боковыми ребрами сохранится. Следовательно, на развертке мы будем иметь параллельно расположенные боковые ребра, перпендикулярно которым расположится прямая линия - развертка контура нормального сечения. С этой прямой и начинается построение развертки. Проведем на свободном поле чертежа горизонтальную прямую. От произвольной точки ее 1 отложим последовательно отрезки, равные сторонам нормального сечения призмы 1 8, 8 2, 2 7, … 7 1. Через концы этих отрезков проведем боковые ребра, перпендикулярные к прямой 1 1_. Так как ребра — фронтальные прямые, то на П₂ имеем их в натуральную величину. Замеряем на фронтальной проекции отрезки их от нормального сечения до нижнего основания и откладываем на соответствующих прямых развертки. Затем то же сделаем вверх от линии нормального сечения на развертке. Полученные точки соединим ломаными линиями.

Плоская фигура, ограниченная двумя ломаными и двумя крайними вертикальными линиями, соответствует развертке боковой поверхности призмы, вписанной в цилиндр. Если около ломаных описать лекальные кривые, то плоская фигура будет приближенной разверткой боковой поверхности цилиндра. Заметим, что форма лекальной кривой в точности соответствует синусоиде. Чтобы получить развертку полной поверхности, следует достроить основания цилиндра так, чтобы они касались синусоиды. Синусоиды представляют собой развертки окружностей верхнего и нижнего оснований цилиндра.

На сторону SА переносим точку 1, замерив отрезок S₂1₂´. К грани SCA пирамиды примыкает грань SAB. Точку В на развертке построим аналогично, использовав натуральную величину S₂B₂´ и A₁B₁. На SB перенесем точку 2, измерив натуральную величину отрезка S₂2₂´. К полученным на развертке двум граням пристраиваем третью грань SBC, используя натуральные величины отрезков S₂C₂´, B₁C₁ и треугольник основания АВC, который в натуральную величину присутствует на горизонтальной проекции (А₁В₁С₁). Точки 3 и 4 на развертке полной поверхности пирамиды повторяются дважды, так как лежат на ребрах, по которым производилось разрезание пирамиды в пространстве. Ломаная линия 4 2 1 3 лежит на развертке боковой поверхности пирамиды, и сторона 3 4 на основании. Рассмотрите полученную развертку. Попытайтесь мысленно вырезать ее по контуру и сложить. Получится макет пирамиды с нанесенной на ней линией сечения 1 2 4 3.

Рис. 84

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 43; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!