Лабораторная работа № 2-2

уравнение квадратичной параболы:

Для участков 3 и 4 будем рассматривать правую отсеченную часть, можно продолжать рассмотрение отсеченных левых частей балки, но на правых частях нагрузка получается проще.

Участок 4. Рассмотрим правую отсеченную часть:

x ₄ = 0 на правом конце участка 4, (сечение L),

x ₄ = a на левом конце участка 4 (сечение К).

- уравнение наклонной прямой:

Участок 3. Рассмотрим правую отсеченную часть:

x ₃ = 0на правом конце участка 3 (сечение К), x ₃ = a на левом конце участка 3 (сечение Е).

Аналогично вышерассмотренному получаем:

По полученным значениям строим эпюры поперечной силы Q_y и изгибающего момента M_z. Эпюру M_z строим на растянутых волокнах, положительные значения изгибающего момента откладываем на эпюре вниз от базисной линии (от оси эпюры), отрицательные значения – вверх. Обратим внимание на совпадение значений внутренних усилий на границах участков 1 и 2, 3 и 4. На границе участков 2 и 3 на эпюре поперечной силы значения Q_{y 2}и Q_{y 3}совпали, на эпюре изгибающего момента – скачок, вызванный моментом пары сил М, причем внешний момент, направленный по часовой стрелке, дает скачок вниз (при построении эпюры моментов слева направо, на растянутые этим моментом волокна). На участках 2 и 3 эпюра моментов имеет вид параболы, выпуклость которой обращена в сторону действия распределенной нагрузки q (правило паруса). В рассматриваемом случае парабола имеет вид плавной кривой без вершины, поэтому можно построить эпюру, соединяя плавно две точки, соответствующие значениям момента на границах участков. В тех случаях, когда в пределах участка поперечная сила при q = const в одном из сечений равна нулю ( то изгибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение М_экстр – максимум или минимум. Координату x, определяющее положение этого сечения находят из общего выражения для поперечной силы, приравняв его нулю. Полученное значение координаты подставляют в общее выражение для изгибающего момента на этом участке и находят значение М_экстр, соответствующее вершине параболы.

Эпюры строим под схемой балки, отмечаем численные значения на границах участков, в характерных сечениях (вершина параболы, если она есть).

4. По эпюре изгибающего момента находим опасное сечение:

5. Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе:

Здесь W_z - момент сопротивления поперечного сечения балки относительно оси z.

Отсюда

а) Определим размеры прямоугольного сечения; h = kb, k = 1,6 (см. данные).

Находим значение размера b прямоугольного сечения

Проверим выполнение условия прочности для найденных размеров прямоугольного сечения:

.

Наибольшее нормальное напряжение

Несовпадение полученного значения наибольшего напряжения с расчетным сопротивлением R получилось за счет округлений при расчетах и составляет

Площадь прямоугольного поперечного сечения

б) По таблице подбираем номер двутавровой балки, ближайшее большее значение осевого момента сопротивления: W_z = W _{x табл}= 143 см³ соответствует двутавру № 18 (А _дв = 23,4 см²).

Определим наибольшее нормальное напряжение для двутавра:

.

Балка недогружена на 12%.

Сравним расход материала на балки. Объем балки, а, следовательно, и масса материала пропорциональна площади поперечного сечения, т. е. отношение площадей балок равно отношению масс:

Таким образом, расход материала на балку с прямоугольным сечением в 3,02 раза превышает расход на двутавровую балку. Заметим также, что в нашем случае двутавровая балка недогружена, т. е. у неё запас прочности увеличен.

Вывод: двутавровое сечение балки является более рациональным по расходу материала.

1.

2. Реакции заделки.

(«сколько вверх, столько вниз»)

Момент заделки определяем из уравнения равновесия моментов относительно точки А:

(«сколько по часовой стрелке, столько и против часовой стрелки»)

3. Эпюру поперечной силы строим также, как для двухопорной балки. Можно построить эпюру Q_y, используя её свойства (построение слева направо):

- в сечениях, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре скачок на величину и по направлению силы;

- на участках, где действует распределенная нагрузка q = const, на эпюре Q_y наклонная прямая, наклон в сторону действия q, спуск по «горке» на величину равнодействующей Q =ql, где l – длина участка, на котором приложена q, внешние моменты М на эпюру Q_y не влияют.

Эпюру изгибающего момента M_z также можно построить, учитывая характер нагрузки и определяя моменты в характерных сечениях. При этом надо помнить, что в любом сечении балки внутренний изгибающий момент равен моменту от внешних сил (нагрузки, реакций опор) и направлен противоположно внешнему моменту. Для рассматриваемой схемы консольной балки (консоли) действующие силы вызывают растяжение верхних волокон, т. е. балка изгибается выпуклостью вверх. Эпюру строим вверх. Определять моменты в данном случае удобнее, начиная от свободного правого конца балки K, на котором момент внешний равен нулю, значит и M_zK = 0.

В сечении Е справа:

кНм, в этом сечении скачок на величину внешнего момента М =14 – в сторону растянутых волокон вверх, в сечении Е слева M_zE = 17 кНм.

В сечении D:

В сечении А для правой части балки

- ординату откладываем вверх на растянутые волокна. В сечении А можно сразу определить изгибающий момент (точнее, в сечении, очень близком к заделке), изгибающий момент равен моменту заделки и направлен противоположно

М_А,в нашем случае по часовой стрелке.

Дальнейший расчет аналогичен расчету двухопорной балки.