Правило Крамера

Системи лінійних рівнянь.

Обернена матриця.

Матриця А^-1 називається оберненою матрицею до матриці А, якщо виконується умова:

А ∙А^-1 = А^-1 ∙ А = Е, де Е – одинична матриця.

Обчислюється обернена матриця за формулою:

А₁₁ А₂₁.........А_n1

А^-1 = А₁₂ А₂₂....... А_n2, де Аij – алгебраїчні доповнення елементів а_ij матриці А.

··· ·······

А_1n А_2n.........А_nn

Тобто А^-1 = · Ã, де Ã – транспонована матриця алгебраїчних доповнень елементів

а_ij матриці А.

Система n лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2n x_n = b₂,

………………………………..

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nn x_n = b_n,

де а_ij (i = 1÷ n, j = 1÷ n) – коефіцієнти,

b_i (i = 1÷ n) – вільні члени,

x_j (j = 1÷ n) – невідомі.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною,

якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв’язок.

Якщо визначник системи

a₁₁ … a_1n

∆ = a₂₁ … a_2n ≠ 0,

a_n1 … a_nn

то система має рівно один розв’язок, що має вигляд за формулами Крамера:

x_j = ∆x_j / ∆ (j = 1÷ n),

де ∆x_j – визначник, отриманий з головного визначника системи ∆, якщо змінити числа j - го

стовпця відповідно на числа стовпця вільних членів.

При розв’язуванні систем можуть бути такі випадки:

1) ∆ ≠ 0, тоді система має єдиний розв’язок, який обчислюється формулами Крамера;

2) ∆ = 0 і хоча б один з ∆x_j відмінний від нуля, тоді система не має розв’язків, тобто є несумісною;

3) ∆ = 0 і ∆x_j = 0 (j = 1÷ n), тоді система має безліч розв’язків, тобто є невизначеною.

Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 126; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!