Геометрическая интерпретация двоичных функций. 1 страница

Пример.

Предполные классы двоичных функций.

4)

3).

2).

L

L

М

М

S

S

M M

M M

M M

Монотонные функции M.

S S

S S

S S

Самодвойственные функции S.

Сохраняющие единицу- T1.

T_{0 :} T_1:

T₀, T₁

T₀, T₁

T₀ , T₁

T₀, T₁

T₀, T₁

T₀ , T₁

T₀ , T₁

T₀, T₁

Определение: называется самодвойственной, если совпадает с двойственной к ней функцией.

.

Очевидно эквивалентное определение самодвойственной функции:

Определение: S,если принимает противоположные значения на противоположных наборах.

x1	x2	x3	f(x1x2x3) S
0
0
0

Пример:

S S

Определение: набор , если ;

Например:

наборы 0101 и 1001 не сравнимы.

Определение: M, если :

.

x1	x2	x3	f(x1x2x3) M

Метод определения монотонности функции f:

Рассматриваем все наборы, на которых значение . Для этих наборов рассматриваем наборы большие, и если среди больших наборов нет нуля функции, тогда функция монотонна. В противном случае она не монотонная. Корректность этого метода следует непосредственно из определения монотонной функции.

x1	x2	x3	f(x1x2x3) M

Для данной функции для единицы 001 большие наборы есть 101, 011, 111. Среди них есть ноль, набор 011. Поэтому функция немонотонная.

M M

Линейные функции L.

Определение: линейные функции – функции, степень полинома Жегалкина которых не больше единицы.

Определение: степенью полинома Жегалкина называется максимальное число переменных в слагаемых этого полинома.

Степень равна 3.

Степень равна 1.

Степень 1 равна 0; степень 0 равна 0.

x1	x2	x3

Методы определения линейности функции f:

1.Способ Находим полином Жегалкина функции f и определяем его степень. Если степень , то функция линейная. В противном случае функция нелинейная.

2. Способ. Определяем существенные переменные функции f и рассматриваем две возможные линейные функции: сумма найденных существенных переменных и сумма существенных переменных плюс 1. Если исходная функция совпадает с одной из данных двух, то функция линейна. В противном случае функция нелинейная.

Корректность данного метода следует из факта, что у линейной функции все переменные существенные и других существенных нет.

1) x₁ - существенная (по 1-ому и 5- ому),x₂ - существенная (по 3- ему и по 1-ому набору), x₃ не существенная. Если функция линейная, то она имеет вид либо x₁+x₂, либо x₁+x₂+1; подходит первое выражение, поэтому первая функция линейная.

вторая функция нелинейная

2) x₁ - существенная (по 4-ому и 8-ому),x₂- существенная (по 6-ому и 8-ому), x₃ не существенная:

вторая функция нелинейная

Утверждение: все перечисленные пять классов являются замкнутыми, то есть суперпозиция любых двух функций из каждого класса является функцией тогоже класса.

Доказательство:

1) T₀

Рассмотрим T₀

T₀

Рассмотрим суперпозицию

и покажем, что полученная T₀. Для этого найдем значение на нулевом наборе:

2) T₁

Рассмотрим T₁

T₁

Рассмотрим :

Рассмотрим S

Рассмотрим :

Рассмотрим М

Рассмотрим суперпозицию

:и

рассмотрим произвольную пару сравнимых наборов и : и покажем, что выполнено: .

Нетрудно видеть, что из того, что следует, что и .

В силу того, что:

Рассмотрим L

, где α и β - некоторые константы.

Рассмотрим .

.

Используя ассоциативность и коммутативность операции +, преобразуем к виду:

.

Степень не превосходит 1, следовательно L.

Замечание Приведенные выше рассуждения будут справедливы, если множества переменных подставляемых функций пересекаются.

Упражнение Покажите, что переименование переменных не выводит функции из классов

.