Означення

Теорема.

Означення.

Теорема 2.

Теорема 1.

Існує така ортогональні стохастична міра , що для кожного ( -м.н.)

При цьому .

Якщо , то знайдеться така функція , що ( -м.н.)

2.5 Регулярні послідовності

Введемо позначення. Нехай та – замкнені лінійні многовиди, породжені величинами і відповідно. Нехай також

Стаціонарна послідовність називається регулярною, якщо

і сингулярною, якщо

Кожна стаціонарна в широкому сенсі випадкова послідовність допускає єдиний розклад

де – регулярна, а – сингулярна послідовності. При цьому і ортогональні ( .

Клас Харді – це клас аналітичних функцій у відкритому одиничному колі на комплексній площин, які задовольняють умову

Теорема (Колмагоров).

Нехай – не вироджена регулярна стаціонарна послідовність. Тоді існує спектральна щільність така, що

А саме, (майже скрізь по мірі Лебега).

І навпаки, якщо – деяка стаціонарна послідовність, що має спектральну щільність, яка задовольняє умову (1), то ця послідовність є регулярною.

2.6 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація

Екстраполяція.

Розглянемо частковий випадок, коли спектральна щільність задається у вигляді

де функція має радіус збіжності і не має нулів в радіусі

Нехай

– спектральне представлення послідовності .

Теорема 1. Якщо спектральна щільність послідовності може бути представлена у вигляді (1), то оптимальна (лінійна) оцінка величини по задається формулою

де

та

Інтерполяція.

Найпростішою задачею інтерполяції є задача побудови оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки по результатамспостережень «пропущеного» значення .

Позначимо через – замкнений лінійний многовид, породжений величинами . Тоді кожна випадкова величина може бути представлена у вигляді

де належить замкненому лінійному многовиду, породженому функціями і оцінка

буде оптимальною тоді і тільки тоді, коли

Із властивостей «перпендикулярів» в гільбертовому просторі випливає, що функція повністю визначається двома умовами:

1)

2)

Теорема 2 (Колмагоров).

Нехай – регулярна послідовність з

Тоді

де

І похибка інтерполяції задається формулою

Фільтрація.

Задача фільтрації полягає в побудові оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки величини по тім чи іншим спостереженням послідовності

Оскільки , то знайдеться така функція , що

Оптимальна функція :

1) ,

2) .

Отриманий розв’язок (4) можна використати для побудови оптимальної оцінки величини по результатам спостережень , де – деяке задане число з .

2.7 Двоїстість та ортогоналізація

Надалі ми припускаємо, що такий, що для деякої функції 𝜑 з класу Харді . Нехай і це коефіцієнти в наступних розкладах:

Зауважимо, що

Явний вигляд для і в термінах коефіцієнтів ряду Фур’є для можна знайти в [11] та [12].

Для набору індексів , котрі відповідають видаленню перших n частот з , відомо, що

(див. [7], [11], [2]). Це так званий – й крок прогнозу дисперсії. Для множини індексів котрий дорівнює приєднанню наступних частот до в [10] показано, що

якщо . Дуже цікавий обернений зв'язок між співвідношеннями (2.2) і (2.3), а також потреба в нетривіальній умові пояснюється встановленням двоїстості між та як Банахових просторів (див. [9], [2]). Відмітимо, що доповнення із в еквівалентно півосі , де . Отже, загальна і більш складна проблема прогнозування на основі в була зведена до звичайної проблеми прогнозування в . В цілому, для будь-якого набору індексів із скінченним числом точок із добавлених чи відібраних, нехай буде доповненням до , і для фіксованого , визначимо та наступною рівністю:

відповідно. Тоді той же аргумент двоїстості показує, що

якщо . Хоча останнє нетривіальне обмеження може бути послаблене [2], до , але величина , можливо, не буде чітко визначена. На щастя, для набору ця складність була усунута в [2, Теорема 3], використовуючи іншу задачу екстремальної двоїстості в [3], пов’язану з проекцією на простір Харді . Тим не менш, для загального , визначення правої частини рівності (2.4) залишається відкритим питанням. В ідеалі хотілося б застосувати (2.4), коли одна проблема простіша, ніж інша, однак (2.4) не має сенсу, коли проблеми прогнозування, що відповідають та мають однакову складність або ж навіть ідентичні. У попередньому випадку, підходяща ортогоналізація у поєднанні з (2.4), здається, забезпечує гарний метод для розв’язку деяких проблем прогнозування. Наприклад, для доповнення еквівалентно , що відповідає вилученню і приєднанню одного спостереження в відповідно. Жодна з проблем не є тривіальною, але останнє здається простіше. В [2, теореми 5, 6] метод ортогоналізації використовується для обчислення . Тоді співвідношення двоїстості (2.4) використовується для визначення , що дає:

(2.5)

В цьому пункті ми обчислюємо для більш загального набору індексів з і , тобто

Цей набір індексів має властивості як так і . Насправді, він зводиться до , коли , в той час як його доповнення в має той же вигляд, як і , так, що відношення двоїстості (2.4) не має сенсу. Тут також показано, що метод ортогоналізації, головним кроком якого є визначення проекції з на підпростір , може бути використаний для вирішення проблеми. Щоби встановити значення, позначимо ортогональну проекцію на підпростір . Оскільки ортогональні до , то підпростори і можна записати у вигляді наступних ортогональних сум:

(2.6)

Таким чином, обчислення , його проекції та норми являється першочерговим. Наступна тотожність, яка являє собою узагальнення [2, теорема 6], представляє окремий інтерес. Власне, цікавий її зв’язок з , де (з , де ):

(2.7)

Де i

Константа насправді являється коефіцієнтом у формальному розкладі в ряд -го кроку прогнозу . [16]). Наостанок, бажана відстань:

Де

На відміну від (2.2), (2.3) і (2.5), де відстань залежить або ж лише від або лише від , у випадку (2.7) і (2.9) одночасно залежить від обох. Явні вирази цих відстаней забезпечують корисні інструменти для оцінки впливу додавання (вилучення) вектора на зниження (підвищення) таких відстаней. А саме, як слідує з (2.7), видалення із не буде збільшувати відстань від з якщо рівне нулю. Аналогічно з (2.9), додавання до не зменшить якщо . Ці факти швидше за все мають цікаву інтерпретацію результатів у статистиці (див. [16], [14]). Було б корисно привести кілька конкретних прикладів оціночних функцій або ж стаціонарних процесів, які відображають ці феномени.

2.8 результати і доведення для