Матрицы: основные понятия и определения, простейшие операции

Потери напряжения за допустимые не выходят, следовательно, выбор сечения проводника выполнен верно.

Определение 1. Таблица чисел (действительных или комплексных) вида:

(1)

называется матрицей порядка .

Здесь - число строк, - число столбцов матрицы. Числа , называются элементами матрицы; индекс указывает номер строки, а индекс указывает номер столбца, где расположен элемент.

Матрицы, как правило, обозначают заглавными буквами латинского или иного алфавита: A, B, C, ….; а элементы матриц соответствующими малыми буквами. В частности, матрица в определении (1) может быть обозначена буквой A:

. (2)

Однако, вместо (2) для записи матриц чаще используют более короткий вариант записи:

, (3)

или

. (4)

Из (4) следует, что в определении 1, круглые скобки могут быть заменены на две вертикальные черты слева и справа. В нашем курсе мы ограничимся использованием круглых скобок.

Определение 2. Матрицы, все элементы которых равны нулю, называют нулевыми матрицами.

По размеру матрицы разбиваются на две группы: прямоугольные, если , и квадратные, если . Квадратные матрицы, как правило, обозначают так:

. (5)

Среди прямоугольных матриц выделяют следующие частные случаи.

а) Матрица-строка ():

, (6)

б) Матрица-столбец ():

. (7)

Определение 3. Матрицы и называются равными, если

, . (8)

Т.е. равными могут быть матрицы А и В одинакового размера, у которых совпадают элементы, стоящие на одинаковых (соответствующих) местах.

Обозначение: .

Определение 4. Суммой матриц и называется матрица , такая что

, . (9)

Очевидно, что складывать можно только матрицы одинакового размера. Для определения суммы матриц достаточно найти суммы элементов, стоящих на одинаковых (соответствующих) местах.

Обозначение: .

Пример 1. , .

Определение 5. Разностью матриц и называется матрица , такая что .

Обозначение:

Заметим, что в отличие от суммы матриц определение разности не содержит правила для его определения, следовательно, правило нужно еще получить.

Теорема 1. Если , , то элементы матрицы , такой что , определяются по правилу:

, . (10)

Доказательство. Согласно определению 5, , следовательно, на основании определения 4:

, . (11)

Выражая из (11) , получаем требуемый результат:

, .

Теорема доказана.

Таким образом, разность можно определить только для матриц одинакового размера, для чего необходимо найти разности элементов, стоящих на одинаковых (соответствующих) местах.

Пример 2. , .

Определение 6. Произведением матрицы на число a (действительное или комплексное) называется матрица , такая что

, . (12)

Обозначение: .

Очевидно, что на число можно умножать матрицы любого размера. Для этого достаточно каждый элемент матрицы умножить на соответствующее число.

Дата добавления: 2015-08-31; Просмотров: 325; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!