Множини міри нуль і вимірні функції 2 страница

Доведемо тепер властивість v), обернену до властивості iv).

Нам дано, що функції невід’ємні, монотонно спадають і що . Очевидно, що функції , спадаючи і залишаючись додатними, мають при деяку границю . Ми повинні довести, що функція майже скрізь рівна нулеві. Для будь-якої функції множина всіх точок, де вона відмінна від нуля, є зліченною сумою множин . Запис в правій частині рівності показує, що множина є множиною всіх точок, де . Якщо ми покажемо, що в нашому випадку кожна із множин має міру нуль, то і їх сума , за лемою 1, також буде мати міру нуль. Тому обмежимось дослідженням множини .

Досить розглянути ту частину множини , де функції неперервні (інша частина зліченна і тому має міру нуль). Так як , то в кожній із точок множини також . Фіксуємо номер ; тоді ділянки сталості функції , які відповідають її значенням, більшим або рівним утворюють покриття множини . Нехай означає суму довжин цих ділянок. Так як , то ми отримаємо, що при .

Таким чином, при достатньо великому множина покривається системою інтервалів з класу східчастих функцій на більш ширший клас.

Нагадаємо схему побудови інтегралу Рімана. В цій схемі для побудови інтеграла від функції діють наступним чином. Розбивають відрізок точками поділу на частинні інтервали позначають , і складають дві суми (залежні, звісно, від сукупності точок розбиття на частини): Перша сума називається нижньою, друга-верхньою. Якщо, додавши нові точки поділу, замінити розбиття розбиттям то , . Звідси, фактично, слідує, що які б не були підрозбиття i . Далі розглядається довільна послідовність розбиттів кожне з яких отримується внаслідок добавленням до попереднього нових точок поділу; тоді відповідні нижні і верхні суми утворюють монотонні послідовності, які йдуть назустріч одна одній: . Кожна із послідовностей має тому свою границю: причому . Доводиться що числа i не залежать від вибору послідовності розбиттів якщо тільки довжина максимального інтервалу в розбитті необмежено зменшується з ростом . Функція вважається інтегрованою за Ріманом, якщо ; загальне значення цих границь і покладають рівним значенню інтегралу від . Якщо ж , то функцію вважають неінтегровною за Ріманом. Розглянемо тепер цей процес з точки зору дій із східчастими функціями. Кожному розбиттю відрізка з точками поділу відповідають дві східчасті функції i ; перша з них на інтервалі приймає значення , а друга – значення . Нижня і верхня суми представляють собою інтеграли від цих східчастих функцій. Послідовності розбиттів відповідають дві послідовності функцій i , перша з яких зростає, а інша спадає. Нехай, далі, i граничні функції цих послідовностей:

, .

Так як, крім цього, , то маємо що . Ми стверджуємо, що якщо функція інтегрована за Ріманом, то ці три функції майже скрізь співпадають. Дійсно, різниця є границею послідовності невід’ємних східчастих функцій . Ця послідовність монотонно спадає, і в випадку інтегрування інтеграли від прямують до нуля. Але тоді, за властивістю v) послідовність прямує до нуля майже скрізь. Тому в випадку інтегрованості функції i співпадають майже скрізь одна з одною і з функцією . Ми бачимо, що функція інтегрована за Ріманом, є одночасно границею (майже скрізь) зростаючої послідовності східчастих функцій і спадної послідовності східчастих функцій ; а інтеграл цієї функції є границею інтегралів східчастих функцій, які беруть участь у вказаних послідовностях.

І навпаки, якщо функції i збігаються майже скрізь до ,то різниця , співпадаючи, майже скрізь прямує до нуля. Тому, згідно з властивістю iv), ми маємо Звідси випливає, що числові послідовності

,

Мають спільну границю. А це і означає, що функція інтегрована за Ріманом.

Таким чином, функція інтегрована за Ріманом тоді і тільки тоді, коли вона є границею (в розумінні збіжності майже скрізь) деякої зростаючої послідовності східчастих функцій і одночасно границею деякої послідовності східчастих функцій ; при цьому інтеграл від є загальним значенням границь інтегралів від функцій i . Це спостереження буде слугувати нам опорою при розширенні визначення інтегралу на більш ширший клас функцій.

Введемо клас функцій, який будемо позначати :

Функція належить до класу , якщо вона може бути представлена як границя (в розумінні збіжності майже скрізь) монотонно зростаючої послідовності східчастих функцій

Причому інтеграли від цих функцій обмежені в сукупності:

.

Теорема 2.2. Довільна функція із класу майже скрізь скінченна. Доведення. Нехай множина точок, де . Можна вважати наперед, що в кожній точці множини всі функції неперервні і виконується співвідношення . Виберемо довільно число ; в кожній із точок множини , починаючи з деякого номера, виконується нерівність . Так що покривається скінченною сумою множин вигляду . Кожна із цих множин представляє собою скінченне число інтервалів; тому їх об’єднання також є скінченною сумою інтервалів: .

Тут через позначенні інтервали множини ; через інтервали множини так що, , утворюють множину і так далі. Оцінимо суму довжин всіх цих інтервалів. Для цього введемо позначення: ;

- сума довжин інтервалів, які утворюють множину . За умовою ми маємо . Звідси ;

Оскільки це вірно для будь-якого , то ми покладаємо, що повна сума довжин всіх інтервалів, складаючи , не перевищує . Так як можна було взяти як завгодно великим, то ми бачимо, що можна покрити скінченною системою інтервалів з загальною довжиною, як завгодно малою. Отже, є множиною міри нуль, що й стверджувалося.

Взагалі кажучи, будь-яка функція вимірна. Визначим тепер інтеграл від функції класу формулою

,

де - послідовність східчастих функцій, яка бере участь у визначенні функції .

Оскільки послідовність чисел монотонна, зростаюча і обмежена, то границя справа існує; але ми повинні ще довести, що вона не залежить від вибору послідовності яка визначає функцію . Для цього ми доведемо наступний, більш узагальнений факт: якщо i - східчасті функції з обмеженими в сукупності інтегралами і майже скрізь то .

Для доведення фіксуємо номер і розглянемо спадну послідовність східчастих функцій .Її границя ; але тоді , звідки, за властивістю iv),

;

але так як то , спадаючи, прямує до деякої недостатньої границі. Звідси ми робимо висновок, що оскільки ця нерівність вірна для будь-якого , то, переходячи до границі при , отримаємо (3), що і вимагалось. Покладаючи отримаємо звідки випливає . Таким чином, визначення інтеграла функції , за формулою (2) однозначне. Якщо ж , , то має місце нерівність .

Взагалі кажучи, будь-яка функція , інтегрована в розумінні Рімана, як границя нижніх сум, співпадає з визначеним нами інтегралом , як границею інтегралів від східчастих функцій , які відповідають тим же нижнім сумам.

Нове означення інтеграла набагато ширше, ніж означення інтеграла Рімана: наприклад, функція Діріхле рівна нулеві при ірраціональному і одиничці при раціональному, не була інтегрованою за Ріманом; з нашої ж нової точки зору вона майже скрізь рівна нулеві, а тому інтегрована і має інтеграл рівний нулю. Можна навести і більш складніші приклади, коли інтегрована в новому розумінні функція не інтегрована за Ріманом і не можу бути перетворена в інтегровану за Ріманом змінами на множині міри нуль.

Здійснюючи граничний перехід, можна перенести деякі властивості інтегралів від східчастих функцій на інтеграли від функцій класу . А саме:

1) Клас разом з функціями i містить і .

2) Клас разом з функціями містить її добуток на будь-яке число і .

3) Клас з функціями i містить , .

Зауважимо, що в класі не можна віднімати функції і множити їх на від’ємні числа, оскільки ми весь час повинні мати зростаючі послідовності східчастих функцій.

Взагалі кажучи, функція належить класу разом з функцією (що не можна сказати про функції i ). Наступна власти- вість показує, що клас замкнутий відносно граничного переходу за зростаючими послідовностями функцій з обмеженими інтегралами:

Теорема 2.3. Якщо та , то i .

Доведення. Для кожної із функцій побудуємо визначаючу її зростаючу послідовність східчастих функцій:

,

,

…………………………………………..

, і т.д.

Далі покладемо . Очевидно, що також східчаста функція і послідовність монотонно зростає. Далі, звідки . Позначимо через ; згідно означення класу ми маємо та . Але так як для будь-якого фіксованого і , то переходячи до границі при знаходимо звідки (майже скрізь). Таким чином, . Потім ; так як то , чим доведення і завершується.

Наслідок. Якщо для ряду , , , інтеграли від частинних сум обмежені, так що то є функцією класу та . Для доведення досить покласти і застосувати теорему 2.3.

Дата добавления: 2015-08-31; Просмотров: 691; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!