Уравнение колебаний мембраны и его решение

Уравнение колебаний струны – одномерное по пространственной координате волновое уравнение. Изучим двумерное волновое уравнение

. (11)

К этому уравнению сводится задача о свободных колебаниях однородной мембраны – идеально гибкой и тонкой пленки, упругой лишь тогда, когда она натянута. Пусть в состоянии покоя мембрана занимает некоторую область D плоскости . Будучи выведена каким-то образом из этого состояния, начинает колебаться так, что все ее точки движутся перпендикулярно плоскости . За будем обозначать отклонение точек мембраны от плоскости . зависит от пространственных координат точек мембраны , и от времени . Функция является искомой функцией и при фиксированных и дает закон колебания точки мембраны в зависимости от времени. Частные производные и определяют соответственно скорость и ускорение движущейся точки. Если зафиксировать , то - поверхность представляющая форму колеблющейся мембраны в момент времени .

Рассмотрим решение уравнения (11) для мембраны, которая в состоянии покоя имеет форму прямоугольника, ограниченного прямыми линиями , , , . Чтобы мембрана начала колебаться, нужно в начальный момент ее точкам придать либо начальные отклонения, либо начальные скорости, либо и то, и другое. Это значит, что задаются начальные условия

, , (12)

где и - функции, заданные в прямоугольнике. Кроме того, следует задать граничные условия, отражающие характер закрепления контура мембраны. Будем считать, что край мембраны закреплен неподвижно, т. е.

. (13)

Сформулированную краевую задачу (11) – (13) будем решать методом Фурье, задавая искомую функцию в виде произведения трех функций . Подставляя в таком виде ее в уравнение (11), будем иметь

,

разделяя переменные, получим . В последнем равенстве левая часть не зависит от и , правая часть не зависит от t, а тогда и левая и правая части, не завися ни от одной из переменных, а являются константами. Кроме того, поскольку отношение зависит только от , а отношение - только от , то сумма может быть постоянной лишь при условии, что каждое слагаемое есть величина постоянная, т. е. , (обе постоянные взяты отрицательными, поскольку в противном случае приходим лишь к тривиальному решению). Для отыскания функций , и приходим к следующим обыкновенным однородным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами:

, (14)

, (15)

, (16)

причем уравнение (14) следует решать при граничных условиях , а уравнение (15) - при условиях , что следует из граничных условий 13).

Общее решение уравнения 14) имеет вид . Удовлетворяя его граничным условиям , получим и - собственные числа, и - собственные функции. Аналогично, общее решение уравнения 15) имеет вид . Реализуя граничные условия, получаем и - собственные числа, и - собственные функции. Здесь и - любые целые положительные числа.

Теперь уравнение 16) примет вид . Это уравнение и его решение зависят как от значений так и от значений . Обозначим его решение . Оно будет

,

где - собственные частоты колебаний мембраны.

Частные решения краевой задачи имеют вид

.

Общее решение получим суммированием всех частных решений

.

17)

Реализуя в 17) начальные условия 12), получим

= , 18)

. 19)

Формулы 18), 19) представляют разложения функций двух переменных в двойные ряды Фурье. Формулы для отыскания коэффициентов и двойного ряда Фурье аналогичны формулам обычного ряда Фурье и имеют вид:

, 20)

. 21)

Таким образом, решение сформулированной краевой задачи 11) – 13) имеет вид 17), где коэффициенты и определяются по формулам 20) и 21).

Дата добавления: 2015-07-13; Просмотров: 3269; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!