Основные понятия кинематики материальной точки

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Изучение движения тела, брошенного с некоторой высоты под углом к горизонту

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

Цель работы: исследовать зависимости кинематических характеристик от времени для тела, брошенного с некоторой высоты под углом к горизонту, и провести их сравнительный анализ.

Приборы и оборудование: компьютерная модель движения тела в поле тяжести Земли.

Кинематика - это раздел механики, описывающий движение тел без выяснения причин, обусловивших это движение. Рассмотрим основные понятия, которыми оперирует кинематика, и взаимосвязь между ними.

Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Система отсчета - тело, по отношению к которому рассматривается движение, связанная с ним система координат и прибор для отсчета времени.

Положение материальной точки в данной системе отсчета в любой момент времени задается радиусом- вектором , проекции которого на оси декартовой сис­темы координат называются координатами материальной точки х, у, z.

(1)

где - орты декартовых осей координат.

Линия, которую описывает конец радиус-вектора при движении материальной точки, называ­ется траекторией (рис.1).

Расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории, называется путем, пройденным материальной точкой. Вектор , проведенный из начального положения в конечное, называется пе­ремещением.

Тогда

(3)

Очевидно, что при криволинейном движении

(4)

Скорость - кинематическая характеристика, показывающая быстроту движения тела (точки). Различают несколько видов скоростей.

1. Средняя по модулю скорость (или просто «средняя скорость») - величина, равная отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден:

(5)

Это скалярная величина.

2. Средний вектор скорости - величина, равная отношению перемещения тела к промежутку времени за который это перемещение произошло.

(6)

Как видно - вектор, совпадающий по нап­равлению с (рис. 2). Очевидно, что

(7)

3. Мгновенная скорость (или просто "скорость") равна пределу, к которому стремится средний вектор скорости, когда промежуток вре­мени стремится к нулю.

(8)

Таким образом, скорость есть производная радиуса - вектора по времени. При этом скорость характеризует не только быстроту движения тела по траектории, но и направление, в котором оно движется в каждый момент времени. В соответствии с (8) скорость направлена по касательной к траектории в каждой ее точке (рис. 2). При этом, так как , то модуль мгновенной скорости может быть найден как

(9)

Ускорение - векторная величина, характеризующая быстроту изменения ско­рости и равная изменению скорости в единицу времени:

(10)

При криволинейном движении скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для того чтобы характеризовать эти изменения отдельно, ускорение разделяют на две составляющие (рис. 3):

1. тангенциальное ускорение - составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории и равная изменению модуля скорости в единицу времени:

(11)

2.

(12)

где R - радиус кривизны траектории в данной точке, - единич­ный вектор нормали. При этом и так как , то

(13)

Основной задачей кинематики является нахождение закона движения матери­альной точки, т.е. зависимость ее радиуса- вектора от времени:

Зная зависимость от времени ускорения и начальные условия (радиус-вектор и скорость точки внекоторый момент времени ), можно решить эту задачу. Из (10) следует, что

Интегрируя это выражение, получаем

(14)

Из (8) получаем:

Интегрируя это равенство, с учетом (14), получим

(15)

К вычислению этого интеграла и сводится основная задача кинематики.

1.2. Движение тела в поле силы тяже­сти

В лабораторной работе 1-12 проводится модельный эксперимент по исследованию зависимости дальности полета тела в поле силы тяжести от угла бросания в случае, когда точка бросания находится на некоторой высоте над поверхностью Земли.

Рассмотрим движение тела в поле силы тяже­сти. Как известно, если пренебречь сопротивлением воздуха и вращением Земли, это равноускоренное движение: . Если принять = 0, то интегрирование равенства (15) даёт следующее выражение:

а интегрирование равенства (14) приводит к выражению:

Таким образом, параметры состояния материальной точки при таком движе­нии - радиус-вектор и скорость - задаются уравнениями:

(16)

Это уравнения движения в векторной форме.

Известно, что рассматриваемое движение является плоским (траектория лежит в вертикальной плоскости), поэтому для его описания достаточно системы отсчета с двумя координатными осями х и у. Начало системы отсчета и направление координатных осей выбираются из соображений удобства решения конкретной задачи.

Начальный радиус – вектор задают с помощью начальных координат и в момент временя t=0; начальный вектор скорости задаётся его модулем и углом α между вектором и осью координат х.

B работе № 2 точка броска находится на некоторой высоте по отношению к точке падения, поэтому систему отсчета и направление координатных осей рациональнее всего выбрать, как показано на рис. 4. Тогда и первое из уравнений (16) в проекциях на оси х и у будет иметь вид

(17)

Поскольку в точке падения , то

, отсюда

Решение этого уравнения будет таким:

(18)

И подставляя (19) в (18), получим:

(19)

Kaк видно, формула (19) достаточно сложна для анализа, и получить простое вы­ражение для угла , соответствующего максимальной дальности броска, не пред­ставляется возможным. Поэтому целью работы 2 является экспериментальное иссле­дование зависимости S() при постоянных и и определение угла, при котором дальность полета максимальна.

Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 145; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!