Методические рекомендации по организации трудовой занятости несовершеннолетних

ФОРМУЛЫ

ПРИНЦИП ЭКСПЕРИМЕНТА И ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ

Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде с частотой от 16 до 20000 Гц. Возникающие при этом упругие волны, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Распространяющаяся волна имеет частоту источника и определенную скорость, зависящую от температуры, плотности и упругих свойств среды.

Упругие свойства тел зависят от характера теплового движения молекул и сил их взаимодействия. Звуковые волны в газах могут быть только продольными (частицы среды, вовлекаемые в волновой процесс, колеблются около своих положений равновесия в направлении распространения волны) и звуковая волна представляет собой последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа.

Так как газ беспрепятственно изменяет свою форму в соответствии с формой занимаемого им сосуда, то газу присуща объемная упругость, т.е. способность сопротивляться изменению его объема. Это свойство газа обусловлено тепловым движением его молекул и проявляется в изменении давления р газа при изменении его объема.

По закону Гука для объемной деформации изменение dp давления газа при малом изменении dV его объема прямо пропорционально относительной объемной деформации

(5)

где k – модуль объемной упругости газа.

Как показывает опыт, скорость продольных волн, т.е. скорость, с которой перемещаются сжатия и разрежения газа, определяется по формуле

(6)

где r - плотность невозмущенного газа.

Колеблющееся тело (например, мембрана телефона) подвергает газ периодически сжатию и разрежению. При сжатии кинетическая энергия молекул возрастает, а сжатый слой газа нагревается; при разрежении же кинетическая энергия молекул уменьшается, и слой расширившегося газа охлаждается. Вследствие малой теплопроводности и высокой частоты (выше 1000 Гц), которую мы используем в данной работе, смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, и процесс можно считать адиабатическим. При адиабатическом процессе, т.е. процессе, протекающем без теплообмена с внешней средой, связь между давлением и объемом данной массы газа дается уравнением Пуассона:

(7)

где γ= С_P / С_V - отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости газа при постоянном объеме. Дифференцируя уравнение (7) последовательно по переменным р и V, получим:

откуда

Окончательно для dp запишем:

(8)

Из выражений (5) и (8) следует, что модуль объемной упругости газа =

(9)

Это и есть формула Лапласа для скорости звука в газе.

Воздух, находящийся при нормальных условиях (р = 1,013×105 Па; Т = 273 К), строго говоря, нельзя считать идеальным газом, т.к. идеальный газ - это сильно разреженный газ, в котором полностью отсутствуют силы притяжения и отталкивания между молекулами, а соударения между молекулами и стенками сосуда, в котором находится газ, являются абсолютно упругими. Отсутствие взаимодействия между молекулами означает, что на молекулы в промежутках между столкновениями не действуют какие-либо силы, что они движутся свободно. Кроме того, молекулы идеального газа - это материальные точки, поэтому их собственный объем вообще не учитывается. Молекулы реального газа имеют собственный объем и, благодаря не только тепловому хаотическому движению, но и взаимодействию между молекулами, находясь в поле тяготения Земли, молекулы стремятся занять весь предоставленный им объем.

В данной работе мы определяем скорость звуковых волн, распространяющихся в цилиндрической трубе, объем которой во много раз больше собственного объема молекул воздуха при нормальных условиях (собственный объем молекул воздуха примерно в 2000 раз меньше объема трубы). Также можно пренебречь и силами межмолекулярного притяжения: при нормальных условиях давление газа, обусловленное силами притяжения молекул, составляет менее 1 % от давления газа на стенки сосуда. Поэтому для определения плотности r воздуха через его давление и температуру мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа

где R = 8,31 Дж/ (моль×К) – молярная газовая постоянная, откуда плотность

воздуха равна:

и скорость звука в воздухе можно рассчитать по формуле:

(10)

Таким образом, если измерить скорость звука в газе, то можно вычислить и значение отношения теплоемкостей данного газа g:

(11)

Для измерения скорости звука в воздухе используется метод стоячих волн (метод акустического резонанса). Стоячие волны наблюдаются при наложении двух встречных волн с одинаковой частотой и амплитудой. Стоячие волны возникают при отражении от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну. На практике такие волны можно получить в резонаторе, который представляет собой замкнутую цилиндрическую трубу.

В замкнутой цилиндрической трубе находятся два телефона, один из которых расположен внутри подвижного цилиндрического поршня, на который от звукового генератора подается электрический сигнал определенной частоты (источник звука), на другом конце телефон, играющий роль приемника звука. От приемника звука электрический сигнал подается на электронный осциллограф. Амплитуда смещения луча на экране осциллографа пропорциональна амплитуде давления в стоячей звуковой волне.

Колебания мембраны телефона (источника звука) вовлекают в волновой процесс частицы воздуха, и вдоль трубы распространяется плоская бегущая звуковая волна, описываемая уравнением:

где x (х,t) – смещение частиц среды от своих положений равновесия в бегущей волне вдоль оси х, параллельной оси трубы в какой-то момент времени t; А – амплитуда волны или максимальное смещение частиц среды; w = 2pn - круговая частота; n - линейная частота; k = 2p/ l - волновое число; l = ʋ/n - длина волны; ʋ - скорость звука в данной среде. Аргумент косинуса (wt - kx+a) называется полной фазой (или просто фазой) волны, где a - начальная фаза волны.

Строго говоря, бегущая звуковая волна образуется только в бесконечно длинной трубе или трубе, на втором конце которой размещен "поглотитель" звука. В трубе конечного размера на открытом конце возникает частичное отражение падающей волны и в трубе образуется стоячая волна. При отражении на открытом конце трубы может изменяться как амплитуда, так и фаза стоячей волны. В нашем случае звуковая волна распространяется в закрытой трубе конечной длины (в резонаторе). При отражении от жесткой стенки, перпендикулярной оси резонатора, амплитуда отраженной волны практически не меняется, а фаза изменяется на j = p. Утверждение об изменении фазы на 180° справедливо, если в качестве параметра x (х,t), описывающего волну, выбрано колебательное смещение частиц среды. Если же параметром x (х,t) служит звуковое давление р (х,t), то фаза отраженной волны при нормальном падении (перпендикулярном стенке) не изменяется (см. рис. 1).

Для получения уравнения стоячей волны, предположим, что две плоские волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются вдоль оси х в противоположных направлениях. Если начало координат взять в такой точке, в которой встречные волны имеют одинаковую фазу, и выбрать отсчет времени так, чтобы начальные фазы оказались равными нулю, то уравнения обеих плоских волн можно написать в следующем виде. Для волны, идущей от источника звука в направлении оси x

и для отраженной волны, распространяющейся в обратном направлении

Сложение этих двух волн дает

Раскрывая значения косинусов от сложных аргументов и произведя сокращения, получим уравнение стоячей волны

или

(12)

Из уравнения (12) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:

(13)

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда стоячей волны достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда стоячей волны обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами или пучностями называется длиной стоячей волны (l_ст). Длина звуковой (бегущей) плоской волны l = 2 l_ст (см. рис. 1). Итак, зная длину звуковой волны l и частоту n, которая указана на звуковом генераторе, определяют фазовую скорость распространения звуковой волны в воздухе по формуле:

(14)

Стоячие звуковые волны, возникающие в замкнутой трубе, - это частный случай интерференции волн. Интерференцией называется явление перераспределения энергии при наложении когерентных волн, в результате чего в одних точках пространства волны усиливают друг друга, а в других - ослабляют. Когерентными называются волны, распространяющиеся в среде

с одинаковой частотой и с постоянной во времени разностью фаз в данной точке пространства.

В упругой стоячей волне механическая энергия периодически преобразуется из потенциальной энергии, локализованной в основном вблизи пучностей деформации (области разрежения газа), в кинетическую, локализованную в основном вблизи пучностей скорости (области сжатия), и обратно. Поэтому энергия периодически мигрирует от узлов стоячей волны к ее пучностям и обратно. Среднее за период значение плотности потока энергии (Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени) равно нулю в любой точке стоячей волны, так как две бегущие волны, образующие стоячую волну, переносят за период равную энергию в прямо противоположных направлениях, т.е. стоячие волны энергию не переносят, за что и получили свое название.

Работа с программным пакетом

К лабораторной работе прилагается приложение, эмулирующее физический процесс. Общий вид программы:

В верхнем углу программы расположены настройки осциллографа, посылающего звуковой сигнал внутри поршня:

Левым тумблером указывается начальная частота, генерируемая осциллографом. Правым тумблером указывается множитель, через который проходит сгенерированная частота. В итоге в поле «Текущая частота генерируемого сигнала, Гц» показывается частота, сгенерированная осциллографом.

Омск – 2012

Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 74; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!