Список использованной и рекомендуемой литературы 2 страница

откуда

или

где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени , а стартовая масса ракеты составляет m₀, то .Следовательно,

(2.14)

Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:

а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀;

б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости и намного меньше скорости света с.

Краткие выводы

· Динамика – раздел механики, предметом изучения которого являются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

· В основе динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела лежат законы Ньютона. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета и формулируется следующим образом: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел компенсируется.

· Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная материальная точка, на которую не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, называется неинерциальной.

· Свойство любого тела оказывать сопротивление изменению его скорости называется инертностью. Мерой инертности тела при его поступательном движении является масса.

· Сила – это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

· Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое телом (материальной точкой), пропорционально равнодействующей приложенных сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела:

, или

Более общая формулировка второго закона Ньютона гласит: скорость изменения импульса тела (материальной точки) равна равнодействующей приложенных сил:

где - импульс тела. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

· Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга взаимно. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль соединяющей точки прямой (третий закон Ньютона):

Эти силы приложены к разным точкам, действуют парами и являются силами одной природы.

· В замкнутой механической системе выполняется фундаментальный закон природы – закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек (тел) с течением времени не изменяется:

const,

где n – число материальных точек в системе. Замкнутой (изолированной) называется механическая система, на которую не действуют внешние силы.

· Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства: при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не изменяются.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?

2. Какое свойство тела называется инертностью? Что является мерой инертности тела при его поступательном движении?

3. Что такое сила, чем она характеризуется?

4. Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?

5. Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона?

6. В чем заключается принцип независимости действия сил?

7. Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми (изолированными)?

8. Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах он выполняется?

9. Каким свойством пространства обусловлена справедливость закона сохранения импульса?

10. Выведите уравнение движения тела переменной массы. Какие практические выводы позволяет сделать формула Циолковского?

Примеры решения задач

Задача 1. Грузы одинаковой массы (m₁=m₂ =0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (рис. 2.2). Коэффициент трения груза m₂ о стол µ =0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить: а) ускорение, с которым движутся грузы; б) силу натяжения нити.

Дано: m₁=m₂ =0,5 кг; µ =0,15.

Найти: а, Т.

По второму закону Ньютона уравнения

движения грузов имеют вид:

, откуда

м/с²;

Н.

Ответ: а =4,17 м/с², Т =2,82 Н.

Задача 2. Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.

Дано: m =5 кг; v =300 м/с; m₁ =3 кг; v₁ =100 м/с.

Найти: v₂.

По закону сохранения импульса

где м/с.

Ответ: v₂ =900 м/с.

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону , где С =2 м/с², D =0,4 м/с³. Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

2. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с²; б) опускать с тем же ускорением.

3. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20⁰), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.

4. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.

5. Два груза с неравными массами m₁ и m₂ (m₁ > m₂) подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: а) ускорение грузов; б) силу натяжения нити.

6. Платформа с песком общей массой М =2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m =8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление – сверху вниз под углом 30⁰ к горизонту.

7. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола под углом 60⁰ к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.

8. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется по воде относительно дна?

9. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30⁰ к плоскости стенки.

10. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями соответственно 5 и 7 м/с. Определить скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: а) больший шар догоняет меньший; б) шары двигаются навстречу друг другу.

ГЛАВА 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

3.1. Энергия, работа, мощность

Единая мера различных форм движения материи называется энергией. Энергия системы материальных тел характеризует эту систему с точки зрения возможных в ней количественных и качественных превращений движения. Эти превращения обусловлены как взаимодействием тел системы между собой, так и с внешними по отношению с системе телами.

Движение является неотъемлемым свойством материи. Поэтому всякое тело обладает энергией, являющейся мерой его движения. Для количественной характеристики качественно различных форм движения, изучаемых в физике, вводятся соответствующие им виды или формы энергии – механическая, внутренняя, электромагнитная и другие.

Причиной изменения состояния механического движения тела, а, следовательно, и его энергии, является взаимодействие тела с другими телами. Для характеристики воздействия этих тел на рассматриваемое тело в механике введено понятие силы. Поэтому можно говорить, что изменение движения и энергии вызывается силами. Процесс изменения энергии тела под действием силы называется процессом свершения работы, а приращение энергии тела в этом процессе называется работой, совершенной силой. Опыт показывает, что сила, приложенная к телу, совершает работу только тогда, если тело при этом перемещается.

Из курса физики средней школы известно, что при прямолинейном поступательном движении тела работа, совершаемая постоянной силой , тем больше, чем больше составляющая силы , касательная к траектории и чем больше путь s, пройденный телом за время действия силы:

(3.1)

В общем случае сила может изменяться как по величине, так и по направлению, поэтому формула (3.1) является лишь одним из частных случаев. Однако если рассматривать достаточно малое перемещение, то движение материальной точки можно считать прямолинейным, а силу – постоянной. Поэтому элементарная работа, совершаемая силой на перемещении равна:

(3.1')

Работа, совершаемая силой на конечном пути s (путь 1-2 на рис. 3.2), равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках:

(3.2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость . Очевидно, что работа, совершаемая силой на пути 0-s, численно измеряется площадью, заштрихованной на рис. 3.3. Если сила не зависит от s ( const), то .

Из выражения (3.1') следует, что сила, действующая на тело, не совершает работы, если:

а) тело покоится (ds =0);

б) сила перпендикулярна к направлению перемещения тела ().

Если угол , то работа силы положительна (составляющая совпадает по направлению с вектором скорости ), поэтому в данном случае силу называют движущей силой. Если угол , то работа силы отрицательна ( и противоположны по направлению) и силу называют силой сопротивления (например, сила трения).

Единица работы – джоуль (Дж): 1 Дж – это работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м:

1 Дж = 1 Н·м.

Если на тело, движущееся поступательно, одновременно действует несколько сил (рис. 3.4), то работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

Если работа, совершаемая силой при перемещении точки из одного произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2 (рис. 3.5), не зависит от траектории перемещения, т.е. выполняется условие

А_1-2 = А_1-а-2 = А_1-b-2,

то такая сила называется консервативной (или потенциальной).

Из уравнения (3.2) следует, что изменение направления движения вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака работы (cos меняет свой знак). Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории L, например, 1-a-2-b-1, работа консервативной силы тождественно равна нулю:

(3.3)

Примерами консервативных сил являются силы всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия.

Все силы, не удовлетворяющие условию (3.3) (т.е. работа этих сил зависит от траектории перемещения точки), называются неконсервативными или диссипативными. Примером таких сил являются силы трения, которые всегда направлены в сторону, противоположную направлению движения (). Поэтому работа сил трения при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории всегда отрицательна и никогда не равна нулю.

Для характеристики скорости совершения работы силой , вводится понятие мощности, численно равной работе, совершаемой силой за единицу времени:

(3.4)

Подставляя в (3.4) выражение (3.1′) для элементарной работы, получим:

(3.5)

Следовательно, мощность (мгновенная мощность) силы равна произведению касательной составляющей силы и скорости движения, т.е. скалярному произведению векторов силы и скорости. Если P ≠const, то пользуются понятием средней мощности за некоторый промежуток времени t, в течение которого сила совершила работу А:

(3.6)

Единица мощности – ватт (Вт): 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж:

1 Вт = 1 Дж/с.

3.2. Виды механической энергии

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.

Пусть тело В, движущееся со скоростью , начинает взаимодействовать с другим телом С и при этом тормозится. Следовательно, тело В действует на тело С с некоторой силой и на элементарном участке пути ds совершает работу

По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила , касательная составляющая которой вызывает изменение численного значения скорости тела. Согласно второму закону Ньютона

Следовательно,

Работа, совершаемая телом до полной его остановки равна:

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

(3.7)

Из формулы (3.7) видно, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной ().

Если система состоит из n поступательно движущихся тел, то для ее остановки необходимо затормозить каждое из этих тел. Поэтому полная кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел:

(3.8)

Из формулы (3.8) видно, что Е_k зависит только от величины масс и скоростей движения, входящих в нее тел. При этом неважно, каким образом тело массой m_i приобрело скорость . Другими словами, кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

Скорости существенно зависят от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.7) и (3.8) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. Однако, в разных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, скорость i -го тела системы, а, следовательно, его и кинетическая энергия всей системы будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е. является величиной относительной.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (Е_п = 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P, поднятого на высоту h, потенциальная энергия будет равна (Е_п = 0 при h = 0); для груза, прикрепленного к пружине, , где - удлинение (сжатие) пружины, k – ее коэффициент жесткости (Е_п = 0 при l = 0); для двух частиц с массами m₁ и m₂, притягивающимися по закону всемирного тяготения, , где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами (Е_п = 0 при ).

Рассмотрим потенциальную энергию системы Земля – тело массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли. Уменьшение потенциальной энергии такой системы измеряется работой сил тяготения, совершаемой при свободном падении тела на Землю. Если тело падает по вертикали, то

где Е_no – потенциальная энергия системы при h = 0 (знак «-» показывает, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).

Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной l и с углом наклона к вертикали (, то работа сил тяготения равна прежней величине:

Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории, то можно представить себе эту кривую состоящей из n малых прямолинейных участков . Работа силы тяготения на каждом из таких участков равна

На всем криволинейном пути работа сил тяготения, очевидно, равна:

Итак, работа сил тяготения зависит только от разности высот начальной и конечной точек пути.

Таким образом, тело в потенциальном (консервативном) поле сил обладает потенциальной энергией. При бесконечно малом изменении конфигурации системы работа консервативных сил равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

В свою очередь работа dA выражается как скалярное произведение силы на перемещение , поэтому последнее выражение можно записать следующим образом:

(3.9)

Следовательно, если известна функция Е_п( r ), то из выражения (3.9) можно найти силу по модулю и направлению.

Для консервативных сил

, , ,

или в векторном виде

grad П,

где

grad П (3.10)

Вектор, определяемый выражением (3.10), называется градиентом скалярной функции П; - единичные векторы координатных осей (орты).

Конкретный вид функции П (в нашем случае Е_п) зависит от характера силового поля (гравитационное, электростатическое и т.п.), что и было показано выше.

Полная механическая энергия W системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:

Из определения потенциальной энергии системы и рассмотренных примеров видно, что эта энергия, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы: она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Следовательно, полная механическая энергия системы также является функцией состояния системы, т.е. зависит только от положения и скоростей всех тел системы.

Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 65; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!