Дифференцирование сложной функции

Пусть дана функция , где . Тогда есть сложная функция (суперпозиция функций).

Как найти производную сложной функции зная и ?

Т.5.1. Если функция имеет производную в некоторой точке а функция имеет производную в соответствующей точке, то сложная функция в данной точке имеет производную, которая вычисляется по формуле

или .

Таким образом, производная сложной функции по независимой переменной равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.

Доказательство.

Так как по условию функция имеет в точке конечную производную, то воспользуемся общим правилом дифференцирования.

Дадим переменной приращение , тогда промежуточный аргумент получит приращение , а функция .

Пусть при .

Тогда (5)

Переходя к пределу в равенстве (5), получим

.

Так как функция дифференцируема, следовательно, она непрерывна, и при и .

Тогда .

Или .

Следствие. Если функция составлена не из двух, а из трех звеньев, т.е.

,, , то согласно (5) имеем:

.

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Заключение. На лекции мы ввели понятие производной функции, изучили правило дифференцирования, рассмотрели геометрический и физический смыслы, знаем формулу дифференцирования сложной функции. На следующей лекции мы продолжим изучение этой темы.

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 392; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!