Примеры решения задач. ЗадачаВыполните статистическую обработку результатов прямых многократных измерений диаметра отверстия

Задача Выполните статистическую обработку результатов прямых многократных измерений диаметра отверстия, приведенных в таблице 8.1, с доверительной вероятностью Р=0,96, и определите его годность, если размер по чертежу Ø12^+0,035мм. Систематические погрешности исключены.

Таблица 8.1 - Результаты измерений диаметра отверстия

Решение.

Проверяем ряд результатов измерений на отсутствие промахов.

Среднее арифметическое значение (3.11):

(мм)

СКО результатов измерений (3.15):

(мм)

Проверяем наименьшее и наибольшее значения. Рассчитываем значения квантилей (4.1): ;

По критерию Шарлье для n=50 предельно допустимое значение к_ш=2,32 (приложение Г). Следовательно, проверяемые значения являются промахами. Их исключаем из вариационного ряда и рассчитываем и :

Проверяем значения, оставшиеся крайними в ряду экспериментальных данных:

Значение 11,9 исключаем и пересчитываем и :

Значение квантиля t₄ также превышает к_ш, поэтому исключаем данные 12,058.

Проверяем значение 12.01 мм: , что не превышает значения к_ш=2,32 Следовательно, результат измерений 12,01 мм не является промахом.

Проверяем значение 12,035 мм:

Это значение также не содержит грубых погрешностей и остается в ряду экспериментальных данных.

Проверяем гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону по составному критерию, т.к. n<50.

Критерий 1 – уровень значимости q₁=2%.

По формуле (7.25):

Рассчитываем параметр d (7.5):

Определяем предельно допустимые значения в по приложению Ж:

; .

Гипотеза по критерию 1 принимается, так как выполняется неравенство (7.4):

Критерий 2 – уровень значимости q₂=2%. По таблице 2 приложения 3 доверительная вероятность Р=0,99.

По таблице 1 приложения Б t_p/2=2,575.

(мм); (мм);

(мм); (мм);

(мм)

Ни для одного из экспериментальных данных отклонение от среднего не превышает , поэтому гипотеза принимается по критерию 2 и в целом по составному критерию.

Рассчитываем доверительный интервал для Р = 0,96 по формуле (3.22).

Коэффициент Стьюдента t_p/2 = 2,055.

;

Округление производим до знака, с которым указаны предельно допустимые значения размера.

Предельно допустимые значения диаметра:

D_min = 12,000 мм, D_max = 12,035 мм.

Границы доверительного интервала входят в границы предельно допустимых значений:

12,019 мм > 12,000 мм и 12,024 мм < 12,035 мм, следовательно, диаметр отверстия является годным, так как находится в поле допуска размера.

Задача 8.3.2. Определите электрическую емкость батареи (параллельно соединенных конденсаторов), при доверительной вероятности Р = 0,95, если результаты измерений емкости каждого из них распределены по нормальному закону и представлены в таблице 8.2. Систематические и грубые погрешности исключены.

Таблица 8.2 – Результаты измерений емкости, мкФ

Решение.

При параллельном соединении емкость батареи конденсаторов имеет линейную зависимость:

С_δ = С₁ + С₂ + С₃ + С₄ (8.16)

Корреляция между погрешностями измерений емкости отсутствует, так как измерения были проведены при включении конденсаторов по отдельности. Применяем алгоритм обработки для линейной зависимости.

Определяем средние арифметические значения и СКО среднего для каждого конденсатора.

Определяем оценку среднего значения емкости батареи в соответствии с формулой (8.16):

Рассчитываем СКО оценки среднего емкости батареи (8.4):

Рассчитываем доверительный интервал (8.12).

Коэффициент Стьюдента для Р = 0,95 и числа степеней свободы, которое при линейной зависимости определяется по формуле:

(8.17)

где n_j – число измерений a_j - го аргумента, равно:

.

По приложению А t_p = 2,11. Доверительный интервал:

;

Задача 8.3.3. Определите мощность в электрической цепи по результатам измерений силы тока и напряжения (таблица 8.3), при доверительной вероятности Р = 0,98 и нормальном распределении случайных погрешностей измеряемых аргументов. Систематические и грубые погрешности исключены.

Таблица 8.3 – Результаты измерений параметров электрической цепи

Решение.

Для определения алгоритма обработки результатов измерений необходимо определить, есть ли корреляция между погрешностями измеряемых аргументов. Рассчитываем средние арифметические значения:

Определяем коэффициент корреляции (8.2):

Проверяем условие наличия корреляции (8.1):

Коэффициент Стьюдента по приложению А для вероятности Р = 0,98 и числа степеней свободы f = n-2 = 6-2 = 4 равен t_p = 3,75, т.е. неравенство (8.1) не выполняется: 1,68 < 3,75, и корреляция отсутствует.

Применяем алгоритм для нелинейной зависимости.

СКО среднего силы тока (8.5):

СКО среднего напряжения (8.5):

Частные производные функциональной зависимости:

(8.18)

(8.19)

(8.20)

СКО среднего мощности (8.6):

(8.21)

Рассчитываем остаточный член ряда Тейлора и оцениваем его влияние на результат измерений.

Полный дифференциал второго порядка функциональной зависимости (8.18): (8.22)

где - наибольшие(по модулю) отклонения от среднего.

Остаточный член ряда Тейлора (8.7):

Неравенство (8.8) выполняется:

Следовательно, R не влияет на результат измерений и не учитывается.

Оцениваем среднее значение мощности:

(8.23)

Рассчитываем доверительный интервал:

Задача 8.3.4. При поверке гирь посредством измерения их в различных сочетаниях между собой и с эталоном получены показания, приведенные в таблице 8.4. Определите вид измерений и значения каждой из гирь с доверительной вероятностью Р = 0,95.

Таблица 8.4 – Показания весов, г, при сочетании гирь

Решение.

Для каждого сочетания гирь определяем числовые характеристики: среднее арифметическое значение (3.17), дисперсию (3.14), а также статистический вес (8.15).

Для сочетания 1:

-среднее арифметическое значение:

-дисперсия:

-вес:

Результаты вычислений по всем сочетаниям представлены в таблице 8.5.

Таблица 8.5 – Числовые характеристики результатов измерений сочетаний гирь.

Приводим систему из пяти условных уравнений (сочетаний гирь) к системе нормальных уравнений с учетом коэффициентов и весов, представленных в таблице 8.6.

Система нормальных уравнений имеет вид:

(8.24)

Решаем систему через определители. Главный определитель:

(8.25)

Определители для нахождения искомых величин:

(8.26)

(8.27)

(8.28)

Вычисляем оценки среднего искомых величин:

(8.29)

Подставляем значения в условные уравнения и определяем остаточные погрешности как расхождение левой и правой частей условных уравнений, как показано в таблице 8.7.

Вычисляем СКО остаточных погрешностей по формуле:

(8.30)

где m – число искомых величин (m=3).

Таблица 8.7 – Определение остаточных погрешностей

Условные уравнения	Остаточные погрешности
Формула определения	Значение

Рассчитываем алгебраические дополнения:

(8.31)

Рассчитываем СКО искомых величин:

(8.32)

Определяем доверительные интервалы для искомых величин. Коэффициент Стьюдента t_p для доверительной вероятности Р = 0,95 и числа степеней свободы равен 4,3:

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 3158; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!