Пример. Отношение f = {(x, y)| y = x2, x, y Î R} – функция

Пусть - тотальная биекция, тогда отношение также является тотальной биекцией.

Доказательство.

1. Докажем, что - функция.

Пусть

, т.к. функция f – инъекция (у каждого образа y есть единственный прообраз x).

2. – тотальна, = Y, т.к. f – сюръекция.

3. – сюръекция, т.к. f – тотальна.

Итак, если f – тотальная биекция, то все элементы множества X – прообразы (тотальность), а все элементы множества Y – образы (сюръекция). Тогда, по определению , все элементы множества Y становятся прообразами (тотальность), а элементы множества X становятся образами (сюръективность).

4. Докажем, что – инъекция. Допустим, что это не так, : . Но тогда - противоречие, так как f – функция.