Лекция 7. Как изменятся координаты вектора uв новом базисе?

Как изменятся координаты вектора u в новом базисе? Поставим задачу найти матрицу-столбец, составленную из координат вектора u в новом базисе:

.

Имеем следующие равенства: . Отсюда получаем искомое равенство: , связывающее координаты вектора u в двух базисах и вытекающее из единственности разложения вектора u по базису .

Пример. Матрица перехода от естественного базиса в к базису имеет вид:

.

Найти координаты вектора u, координатный столбец которого в естественном базисе равен

, в новом базисе.

Равенство умножим слева на , в результате имеем: . Таким образом, чтобы решить задачу, нужно найти обратную матрицу , а она равна (см. лекцию 2):

.

Теперь .

Итак, вектор u в новом базисе будет иметь координатный столбец .

4.4. Линейные операторы в линейных пространствах

Определение. Линейным оператором А, действующим в линейном пространстве L, называется однозначное отображение векторов пространства L в векторы этого же пространства: , удовлетворяющее следующим требованиям: ,.

Пусть задан некоторый линейный оператор А. Зафиксируем базис пространства L. Поставим цель выяснить, как выражаются координаты вектора у через координаты вектора х. Мы имеем .

Пусть оператор А переводит базисные векторы в векторы пространства L следующим образом: . Тогда в этом базисе, приравнивая коэффициенты при одинаковых базисных векторах:

получаем в матричном виде , где матрица называется матрицей оператора А в базисе . Итак, если координатные столбцы векторов х и у равны соответственно Х и Y, то эти столбцы связаны соотношением .

Столбцы матрицы А – координаты векторов, в которые линейный оператор А переводит базисные векторы.

Поставим вопрос: как меняется матрица линейного оператора А при смене базиса L.

Пусть переход от старого базиса к новому базису задается соотношением (см. лекцию 6), где С – невырожденная матрица (преобразование с помощью невырожденной матрицы называется неособенным). Связь между матрицами-столбцами, составленными из координат векторов при таком преобразовании базиса, как было установлено в лекции 6, следующая: , где X, Y задают старые координаты, а – новые. Пусть в базисе матрица оператора равна , а в базисе – . Имеет место следующее равенство: . Отсюда . Умножая это равенство слева на , приходим к равенству . Сравнивая это равенство с равенством , получаем искомое равенство .

Определение. Если квадратные матрицы А и В связаны соотношением , где С – невырожденная матрица, то матрицы А и В называются подобными.

Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не меняется при смене базиса. Действительно, , т.к. .

Отсюда все подобные матрицы имеют одинаковый определитель.

Определение. Оператор А называется вырожденным, если .

Отсюда следует, что он будет вырожденным при любом базисе.

Определение. Рангом оператора называется ранг его матрицы в некотором базисе.

Это определение корректно, поскольку при смене базиса ранг матрицы оператора не меняется.

Далее, дефект оператора определяется в соответствии с равенством: .

Ядро оператора – линейное подпространство пространства L, которое отображается оператором А в 0. Докажем, что это, действительно, подпространство. Пусть и , тогда . Если , то .Из определения подпространства следует, что – линейное подпространство пространства L.

Размерность ядра определятся равенством . Если же оператор невырожденный, то .

Примеры. 1) Матрица линейного оператора, действующего в арифметическом пространстве , в естественном базисе имеет вид . Какова будет матрица этого оператора после перехода к новому базису, связанному со старым матрицей ?

Для матрицы С обратная матрица имеет вид (см. лекцию 6): . Следовательно, матрица оператора А в новом базисе будет определяться следующим соотношением:

.

2) Найти ранг оператора, заданного матрицей .

Приводя матрицу к ступенчатому виду, находим ее ранг:

.

Ранг матрицы равен 2, следовательно, следовательно .

3) Найти ядро оператора из предыдущего примера, действующего в .

Чтобы найти ядро оператора, нужно с помощью его матрицы найти решение однородного матричного уравнения . Составляем уравнение:

(€) .

Приводя ступенчатую матрицу из решения предыдущего примера с помощью обратного хода метода Гаусса к виду

,

получаем ф.с.р. этой системы в виде . Отсюда общее решение однородной системы (€) имеет вид: , где K – координатный столбец вектора k. Теперь ядро оператора есть одномерное линейное подпространство, представляющее собой множество векторов вида t k

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 501; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!