Гармонический ряд

Необходимое условие сходимости ряда.

Алюминий

Медь

Титан

Латунь

Оцинкованная сталь

Нержавеющая сталь

Черная сталь

Лазерная резка

Так же наша компания оказывает услуги:

· Гидроабразивной резки

· Мех. Обработки

· Порошковой окраски 120 руб. за м²

Отдел продаж т/ф (812)323-24-78 metal@nha-spb.ru

Теорема о необходимом условии сходимости ряда.

Если ряд сходится, то предел последовательности общих членов этого ряда равен нулю:

. (1.11)

Другая формулировка. Для того чтобы ряд сходился, необходимо (но недостаточно!), чтобы предел последовательности общих членов ряда был равен нулю.

Замечание. Иногда для краткости слово «последовательность» опускают и говорят: «предел общего члена ряда равен нулю». То же для последовательности частичных сумм («предел частичной суммы»).

Доказательство теоремы. Представим общий член ряда в виде (1.10):

.

По условию ряд сходится, следовательно, Очевидно, что и , т.к. п и п -1 стремятся к бесконечности одновременно . Найдем предел последовательности общих членов ряда:

, ч.т.д.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Ряд, удовлетворяющий условию (1.11), не обязательно сходится. Поэтому условие, или признак (1.11) является необходимым, но не является достаточным признаком сходимости ряда.

Пример 1. Гармонический ряд. Рассмотрим ряд

(1.12)

Этот ряд называется гармоническим, т.к. каждый его член, начиная со второго, является средним гармоническим соседних с ним членов:

.

Например:

Рис.1.3.1 Рис.1.3.2

Общий член гармонического ряда удовлетворяет необходимому условию сходимости ряда (1.11): (рис.1.3.1). Однако в дальнейшем будет показано (с помощью интегрального признака Коши), что этот ряд расходится, т.е. его сумма равна бесконечности. На рис.1.3.2 показано, что частичные суммы неограниченно возрастают при увеличении номера.

Следствие. Из необходимого условия сходимости ряда вытекает достаточный признак расходимости ряда: если или не существует, то ряд расходится.

Доказательство. Предположим противное, т.е. (или не существует), но ряд сходится. Но согласно теореме о необходимом условии сходимости ряда предел общего члена должен быть равен нулю: . Противоречие.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд с общим членом .

Данный ряд имеет вид:

Найдем предел общего члена ряда:

. Согласно следствию данный ряд расходится.

Дата добавления: 2015-06-27; Просмотров: 437; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!